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1、试 卷 结 构 试卷总分：150分 考试时间：150分钟 试 卷 内 容 比 例 1. 函数、极限和连续 约20% 2. 一元函数微分学 约35% 3. 一元函数积分学 约30% 4. 无穷级数、常微分方程 约15%,高等数学（二）专升本考试,高等数学(二)历年比例,一、函数、极限和连续,二、一元函数微分学,三、一元函数积分学,四、无穷级数,五、常微分方程,2005,2006,2007,18%,11%,21%,47%,33%,32%,23%,25%,15%,7%,18%,19%,5%,13%,14%,2008,24%,29%,32%,7%,8%,2009,11%,38%,37%,7%,7%,试
2、卷题型比例,选择题 约15% 填空题 约25% 计算题 约40% 综合题 约20% 试题难易比例 容易题 约40% 中等难度题 约50% 较难题 约10%,1、理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式 及函数值.,y = f (x),因变量,对应法则,自变量,值域,定义域,题型一：求定义域,例 1 求下列函数的定义域.,练: 函数 的定义域是_.,(2007年高数一),2、会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单 的分段函数图像。,3、理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期 性，会判断所给函数的类别。,定义 函数 y=f(x) ，其定义域 D关于原点对称.,(2) 若 f (-x)=
3、-f (x), 则称 y=f(x) 为奇函数.,(1) 若 f (-x)=f (x), 则称 y=f(x) 为偶函数;,函数的奇偶性,例 3 判别下列函数的奇偶性.,偶+偶=偶，奇+奇=奇，,偶*偶=偶，奇*奇=偶，偶*奇=奇,f (x1) f (x2) , 则称 y= f (x)在区间 (a, b)内是增函数.,若函数 y= f (x), 对于区间 (a, b) 内的任意两点 x1 x2 , 有,增函数和减函数统称为单调函数,定义,f (x1) f (x2) , 则称 y= f (x)在区间(a, b)内是减函数.,函数的单调性,增函数,减函数,函数的单调性,若函数 y=f (x) 在区间
4、(a, b) 内增加或减少, 则 称此区间为 f (x) 的单调区间.,函数的周期性,定义 若对于函数 y= f (x), 存在一个常数T , 对于x在定义域内的一切值, 都有 成立, 则称 y=f(x) 是周期函数, T为函数的周期.,通常所说的周期是指 T 的最小正值.,例如,函数 y=sin x, y=cos x 的周期是,函数 y=tan x, y=cot x 的周期是,例 4 下列各函数中哪些是周期函数?,例 函数 y=sin x,函数的有界性,有界函数,例 函数 y=cos x,函数的有界性,有界函数,定义 设函数 y=f (x) 在 (a, b) 内有定义, 若存在常数M0, 使
5、对于 (a, b) 内的任何 x , 有| f (x) |M 成立. 则称 y=f (x)在(a, b)内有界.,否则, 称f (x)在(a, b)内无界.,几何意义:,f (x)的图形夹在两平行直线 y = M 之间.,例 函数,在 内无界,在 内无界.,在 内有界,例 5,(2008年高数二),函数 f(x)=x3 sin x 是 ( ),偶函数 B. 奇函数 C. 周期函数 D. 有界函数,函数 f(x)=(x2+1) cos x 是 ( ),奇函数 B. 偶函数 C. 有界函数 D. 周期函数,题型二：判断函数的性质,题型三：求反函数,4. 了解函数y=（x）与其反函数y=-1（x）之
6、间的 关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反 函数。,例8. 函数f(x)的定义域为0, 1, 则函数 的定义域是_.,题型四：复合函数运算,5. 理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练 掌握复合函数的复合过程。,(2006年高数一),6. 掌握基本初等函数的简单性质及其图象,7. 了解初等函数的概念。,8. 会建立简单实际问题的函数关系式。,二、极 限,1. 理解极限的概念，能根据极限概念分析函数的变 化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了 解函数在一点处极限存在的充分必要条件。,（1）. 数列极限的概念,或,有极限的数列称为收敛数列,没有极限的数列称为发散数列,由观察得出的常
7、见函数的极限：,(1) 单调递增有上界的数列必有极限;,(2) 单调递减有下界的数列必有极限;,2、了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。,x,x,(3) 夹边定理: 若 且,则,3. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量 的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷 小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等阶）。会运 用等价无穷小量代换求极限。,例: 在 时为无穷大量.,在 时为无穷小量.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,(5) 极限计算中的等价无穷小替换,定理 设 时,则,常见的等价无
8、穷小:,当 时,4. 掌握两个重要极限,(1),(2),题型五：极限的计算,三、利用等价无穷小替换求极限.,四、洛必达法则求极限,一般步骤：1、先考虑等价无穷小替换或化简；,2、再用洛必达法则.,练: (2006高数一),计算,六、 夹边定理,1 (2006高数一),当x0时, 与x不是等价无穷小量的是 ( ),(A) sinx-x2 (B) x-sin2x (C) tanx-x3 (D) sinx-x,题型六：无穷小量的判定,2 (2008高数二),当x0时, secx-1是 的 ( ),(A) 高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C) 同阶但不是等价无穷小 (D) 等价无穷小,练: (2006
9、高数二),当x0时, f(x)=x-sinx是比 x2 的 ( ),(A)高阶无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 同阶无穷小 (D) 低阶无穷小,练: (2007高数二),当x0时, (1-cosx)2是 sin2x 的 ( ),(A)同阶但不是等价无穷小 (B) 等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小,1. 理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单 函数（含分段函数）在一点的连续性，理解函数一点 连续与极限存在的关系。,(1). 设函数(x)在 x0的某邻域内有定义,在 x0 处 给x一个增量 x,则称函数(x)在 x0 处连续. 称 x0 为连续点.,o,x,y,y=(x)
10、,y,x,结论: 函数(x)在x0 处连续的充要条件是(x)在 x0 处既左连续又右连续.,2 . 理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用 连续性求极限。,若函数(x)在开区间 (a , b) 内的每一点都连 续, 则称函数(x)在开区间 (a , b) 内连续;,若函数(x)在开区间 (a , b) 内连续, 且在左端 点 a右连续 , 在右端点 b 左连续 , 则称函数 (x) 在闭区间a , b 内连续.,设函数(x)在区间 I 内连续, 则称I为函数 (x) 的连续区间.,若函数(x)在其定义域内连续, 则称函数 (x) 是连续函数.,(2) 设函数 y = (x)在某个区间上单调且
11、连续, 则其反函数y= f -1(x)在相应区间上亦单调且连续.,例:,的连续区间为_,3.会求函数的间断点及确定其类型。,题型七：判断函数的连续性.,5. 求函数,的连续区间和间断点.,并指出间断点的类型.,(2007高数一),练: (2006高数一),练: (2007高数二),练: (2006年高数二),若,在 x=0 连续, 则 a=_.,4、掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题。,(最大值与最小值定理) 若函数 (x)在闭区间a,b 上连续, 则在a,b上(x)一定有最大值与最小值.,(2) (有界性定理) 若函数 (x) 在闭区间a, b 上连续,则 (x)在a, b上一定有界.,(3) (介值定理)若函数 (x) 在闭区间a, b上连 续, 且 m 与 M 分别为(x)在 a, b上的最小值与最 大值, 则对于任意介于m与M之间的实数 C(mCM), 至少存在一点,o,x,y,m,C,M,a,b,y=(x),(4) (零点存在定理)若函数(x)在闭区 间a, b上连续, 且(a)与(b) 异号 (即(a)(b) 0), 至少存在一点,8. 设函数f(x)在区间a, b上连续，且 f(a)b，,证明存在 使得,6. 证明方程,一个根 .,在区间,内至少有,题型八：利用介值定理（零点定理）证明.,
