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1、31 微分中值定理,32 函数单调性与曲线的凹凸性,33 函数的极值与最值,34 函数图形的描绘,35 洛必达法则,36 泰勒（Taylor)公式,Ch3 导数的应用,3.2 函数单调性与曲线的凹凸性,一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性,一、函数的单调性,定理1（函数单调性判别法）,1. 函数单调性的判别法,证,应用拉氏定理,得,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,几何上看：单调区间的分界点是使f (x)=0的点.,例2 讨论函数 y = x - sinx 的单调性.,解,y=1-cosx0， y=
2、x-sinx在(- ，+)上单调增加,2. 单调区间的求法,问题:如例1，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,例3,解,单调区间为,注:区间内个别点导数为零或不存在 , 不影响该区间内的单调性.,讨论函数的单调性可以按以下步骤进行：,1）确定函数 f (x)的定义域；,2）求 f (x)，找出 f (x)=0和 f (x)不存在的点， 以这些点为分界点，把定义域分成若干区间；,3）在各个区间上判别 f (x)的符号，以此确定 f (x)的单调性.,例4,解
3、,单调区间为,例5,3. 利用单调性证明不等式,证,。,例6 证明当x0时，,证,令, F(x)在(0,+)内单调上升，又F(0)=0，F(x)在x=0处连续，,例7 证明方程 有且仅有一个实根.,证明：,又, 由介值定理： f (x) 在（-，+）上有且仅有一个实根。, f (x)在（-，+）上单调上升。,二、曲线的凹凸性,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,1.曲线凹凸与拐点的定义,定义1,1.曲线凹凸与拐点的定义,定义1,2. 曲线凹凸的判定,定理2（曲线凹凸性判别法）,例8,解,注意到,EX1,解,注意()区间内个别点二阶
4、导数为零或不存在, 不影响该曲线的凹凸性.,(2) 由拐点的定义及定理, 可得拐点的判别法如下:,例,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,3) 列表判别,例10 求 的凹凸区间及其拐点。,解：,令 得,当x=0时， 不存在。,用 x=0和 x = -1/2将定义域分开：,和（0，0）为曲线的拐点。,注：f (x)=0和 f (x)不存在的点均是拐点可疑点。,小结,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上的凹凸分界点,思考,思考,有位于一直线的三个拐点.,1.求证曲线,证明：,备用题,2. 证明,时, 成立不等式,证:,证明:,当,时，,有,证明:,3 .,
