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1、4 函数的极值与最大(小)值,二、最大值与最小值,极大(小)值是局部的最大(小)值,它,一、极值判别,们将逐一研究函数的这些几何特征.,有着很明显的几何特征. 在本节中,我,返回,2,一、函数的极值及其求法,3,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,4,说明：,1.极值不一定存在；,2.极值必在定义区间的内部取到；,3.极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大.,无极值.,设函数 f 在点 x0 的某邻域内有定义,且在点 x0 可,定理 5.3 (费马定理),导. 如果 x0 是 f 的极值点，则必有,上述定理的几何意义：如果 f 在极值 x = x0,处可导
2、，则该点处的切线平行于 x 轴.,一、极值判别,费马定理的逆命题亦不真. 例如,6,此外, 不可导点也可能是极值点,但函数的不可导点也不一定是极值点，,7,这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点, 两者必居其一.,我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点.,下面给出三个充分条件,用来判别这些极值可疑点是否为极值点.,定理6.10 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在,例1,解,稳定点为 x = 0 ，没有不可导点.,为了更好地加以判别，我们列表如下：,不存在,即,是极小值.,不存在,极小值,即,定理 6.11 (极值的第二充分条件) 设 f (x) 在点 x0,证 同样我们仅证
3、(i). 因为,所以由保号性，,由极值判别的第一充分条件得知: x0 是极小值点 .,由定理6.11, x = 6是极小值点, f(6)=108是极小值.,试问这里为什么不考虑不可导点 x = 0?,定理 6.12 ( 极值的第三充分条件 ) 设 f 在点 x0 的,某邻域内存在直到,对于 的情形, 可借助于更高,阶的导数来判别.,(ii) n 为奇数时, 不是极值点 .,证 由泰勒公式, 有,其中 它在某邻域,内恒与 同号.,这就说明,了 不是极值点.,例 3,所以由第二判别法,解,求得极小值为,因此 x = 1 不是极值点( n = 3 是奇数 ). 又因,由于,( n = 4是偶数 ).
4、,注 第三充分条件并不是万能的. 例如 x = 0 是,22,极值是局部性的,而最值是全局性的.,二、最大值与最小值,23,具体求法：,上的最大、最小值.,解,所以,在 x = 0 连续，由导数极限定理推知,故在 x = 0 不可导.,所以,这样就得到不可导点为 0, 稳定点为 1, 2. 又因,27,在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述方法：,例 5 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10(km/h)，燃料费为每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时，每航行1km所消耗的费用最小？,例 6 如图所示, 剪去正方形,时, 盒子的容积最大.,去的小正方形的边长为何值,制成一个无盖的盒子, 问剪,四角同样大小的小正方形后,
