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1、1,寄 语,假舟楫者，非能水也，而绝江河。,假舆马者，非利足也，而致千里；,-旬子,2,第20章,第一节、第一型曲线积分,第二节、第二型曲线积分,曲线积分,第20章,本章内容：,（或称：关于弧长的曲线积分）,（或称：关于坐标的曲线积分）,3,积分学,积分域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,对弧长的曲线积分（第一型）,对坐标的曲线积分（第二型）,曲面积分,空间域,区间域,平面域,定积分,二重积分,三重积分,几类积分概况,4,第1节,一、 第一型曲线积分的定义,二、第一型曲线积分的计算,第一型曲线积分,第20章,本节内容：,5,一、第一型曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在平面或空间所占
2、可求长,其线密度为连续函数,“分割, 近似代替, 求和, 取极限”,可得(以平面内为例),为计算此构件的质量,1.引例: 曲线形构件的质量,采用,6,设 L 是平面中一条可求长度的曲线段,义在 L上的函数,都存在,L上的第一类曲线积分,记作,若通过对 L 的任意分割T,任意取点,2.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或对弧长的曲线积分.,称为被积函数，,L 称为积分弧段 .,和对局部的,7,思考:,(1) 若在 L 上 f (x, y)1,(2) 定积分是否可看作第一类曲线积分的特例 ?,否!,对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中,dx 可能为负.,此为一种新的和式
3、极限。,定积分：,线积分：,不是定积分。,如果 L 是闭曲线 , 则记为,8,对空间曲线弧 ,类似地,可定义第一类曲线积,分为,平面曲线形构件的质量,物理意义:,空间曲线形构件的质量,9,3. 性质,（k 为常数),(L由L1,L2组成),( l 为曲线弧 L 的长度),(因为由定义可知：此曲线积分不论积分弧段的方向如何，,总取正值，定义中右端的和式极限不变.),换向不变号,10,(6),都存在,且在L上,则,(7),存在,则,也存在,且,(8),存在,L的弧长为s,则存在常数c,使得,其中,11,二、对弧长的曲线积分的计算法,定理:,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,思想方法
4、： 统一变量化为定积分,积分限由小到大。,12,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,证:,根据定义,13,下只需证明,由,关于t的连续性知其在,有界.,即存在M0,对一切,都有,14,于是,从而,因此,15,说明:,因此积分限必须满足,(2) 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,16,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,则,17,例1 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),18,例2 计算,L 为图示三角形周界.,解：,19,例3. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系
5、下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,20,例4. 计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,21,例5. 计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,22,例6. 计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,23,三、应用,24,25,例7. 例6中L 改为,计算,解: 令, 则,圆L的形心在原点, 故, 如何,26,例8. 计算半径为 R ,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).,解: 建立坐标系如图,由对称性则,27,例9. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,(1) 求它关于 z 轴的转动惯量,(2) 求它的质心 .,解: 设其密度
6、为 (常数).,(2) L的质量,而,(1),28,故重心坐标为,29,思考与练习,1. 已知椭圆,周长为a , 求,提示:,原式 =,利用对称性,分析:,30,作业 P201 1 (2) , (4) , (7) , 2 ;3,31,内容小结,1. 定义,2. 性质,( l 曲线弧 的长度),32,3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,33,2. 设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界, 求,提示: 分段积分,（ 习题-P201 4(1) ）,34,3.已知曲杆方程为,其上各点的密度,求: 1)曲杆的长 S ; 2)质量 M;,3)重心,4)曲杆的转动惯量,解：,35,解,1.,备用题,36,2. L为球面,面的交线 , 求其形心 .,在第一卦限与三个坐标,解: 如图所示 , 交线长度为,由对称性 , 形心坐标为,37,3. 计算,其中曲线 L 为单位圆从点A(0,1),到点,解法一：,解法二：,38,解法三：,39,截下部分的面积 A 。,解：,如图所示，先作柱面,4 .求由抛物柱面,40,5.计算,L 由,解：,41,42,6. 有一半圆弧,其线密度,解:,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的引力.,
