《d21导数的概念（27）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《d21导数的概念（27）（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导 数,第二章,1.2 基本求导公式与运算法则,1.1 导数的概念,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,五、函数的可导性与连续性的关系,四、左、右导数,1.1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数的概念,一、 引例,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均
2、速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,人口增长率,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是人口增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、导数的定义,定义1 . 设函数
3、,在点,存在,并称此极限为,记作:,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,若,也称,在,就说函数,的导数为无穷大 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数定义,记作,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,说明: 在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,存在, 求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知,则,例3. 讨论函数,在点 处的可导性.,解:, 故函数在此
4、点不可导.,曲线在点 (1 , 0) 处有垂直切线,三、 导数的几何意义,若,切线与 x 轴平行 .,切线方程:,法线方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,切线与 x 轴垂直 .,切线方程:,切线方程:,在点,的某个右 邻域内,四、 左、右导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),定义2 . 设函数,有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1. 函数,在点,且,存在,可导的充分必要条件,是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,求,解:,例5. 证明函数,在 x = 0 不可导.,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、 函数
5、的可导性与连续性的关系,定理2.,证:,设,在点 处可导,存在 ,因此必有,所以函数,在点 连续 .,注意: 函数在点 连续未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论.,在,处连续, 且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导.,例6. 设,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若函数,与,都存在 ,则称,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,六、可导函数,在开区间( a , b ) 内每点都可导, 则称,在开区间 内可导, 记作,函数称为导函数. 或简称
6、导数.,记作:,若函数,在某区间 I 内可导, 每点的,导数值构成的新,在,的导数即为导函数值：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导函数,注意:,？,例7. 求常值函数,的导数.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求,的导数.,解:,例如.,例9. 求,的导数.,解:,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如.,例10. 求,的导数.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在
7、且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考,函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,解: 因为,设,存在, 且,求,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数的基本公式与运算法则,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,思路:,( 构造性定义 ),求导法则,其它基本初等函数求导公式,初等函数求导问题,本节内容,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一
8、、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) (2)可推广到任意有限项可导函数的情形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别地:,( C为常数 ),推论:,例1.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求证,证:,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例
9、4. 求反三角函数及对数函数的导数.,解: 1) 设,则, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,复合函数求导法则,证：,在点 x 可导,即,又,在点 u 可导,故,故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,从而，,上式也成立，,例如,关键:,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,链式法则,例5. 设,求,解:,机动 目录 上页 下页
10、返回 结束,例6. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. (1) 设,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. (2) 设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、初等函数的求导问题,1. 常数和基本初等函数的导数 (P70),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 有限次四则运算的求导法则,( C为常数 ),3. 复合函数求导法则,4. 初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求双曲函数的导数:,解:,类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（双曲正弦）,（
11、双曲余弦）,（双曲正切）,（双曲余切）,例9.,求,解:,例10.,设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,幂指函数求导法,例13.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分段函数求导法,解:,当存在分段点的时候，要考虑分段点的导数存在与否（左右导数相等）；若不存在分段点，便不用考虑。,例14. 设, 求,解:,故该函数在 x = 0 不连续 ，因而不可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,判断是否可导： 判断该点是否有定义
12、判断函数在该点左右极限是否等于本身函数值 判断其左右导数是否相等,例15. 设, 求,解:,显然该函数在 x = 0 连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,例16. 设, 求,解:,显然该函数在 x = 0 连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,故,不存在.,例17. 设, 求,解:,显然该函数在 x = 0 连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,注意:,导数在分段点处没有定义，因而不能直接求导，只能用定义求导。,例18. 设,求 a , b.,解:,函数在 x = 0处可导，必连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是，,在 x = 0 可导，,由
13、,注意该处无定义，要用定义求导。,牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .,莱布尼兹(1646 1716),德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人 ,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿 .,他还设计了作乘法的计算机 ,系统地阐述二进制计,数法 ,并把它与中国的八卦联系起来 .,
