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1、第22章 曲面积分,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用 “分割, 近似代替,求质,求和, 取极限” 的方法, 可得,量 M.,其中, T表示 n 小块曲面的直径的最大值.,1 第一型曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念与性质,定义1,则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似., 积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理22.1 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明: 由定义知,
2、而,(光滑),例1. 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,例2. 计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示 在平面,练习1. 设 是四面体,面, 计算,解:,在四面体的四个面上,平面方程,投影域,同上,练习2. 设,一卦限中的部分, 则有( ).,( 2000 考研 ),C,思考. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析: 若将曲面分为前后(或左右),则,解: 取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,作业：P282, 1(1)(2), 3.,课堂练习、复习,2 第二型曲面积分(对坐标的曲面积分),一、曲面的侧及曲面元
3、素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四*、两类曲面积分的联系,一、曲面的侧及曲面元素的投影, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧, 设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示 :,其面元,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位
4、时间流过有向曲面 的流量 .,分析: 若 是面积为S 的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,对一般的有向曲面 ,用“分割, 近似代替,求和, 取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得, 则,设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P, Q, R 叫做被积函数;, 叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对 的任,2. 定义.,引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;,向
5、量形式,3. 性质,(1) 若,则,(2),三、对坐标的曲面积分的计算法,定理: 设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数, 则,证:, 取上侧, 若,则有, 若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧, 则,例1. 计算,其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式, 的顶部,取上侧, 的底部,取下侧,解: 把 分为上下两部分,思考: 下述解法是否正确:,例2. 计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第五卦限部分.,例3*. 设S 是球面,的外侧 , 计算,解: 利用轮换对称性, 有,练习 求,取外侧 .,解:,注意号,其
6、中,利用轮换对称性,作业：P289, 1(1)(3)(5).,四*、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,例6. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之间部分的下侧.,原式 =,小结：,当,时，,（上侧取“+”, 下侧取“”),类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .,二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,3 高斯公式和斯托克斯公式,一、高斯公式,二、 斯托克斯公式,三、空间曲线积分与路径无关的条件,一、高斯 ( Gauss ) 公式,Green 公式,Gauss 公式,推广,
7、定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,下面先证:,函数 P, Q, R 在,面 所围成, 的方向取外侧,则有,(Gauss 公式),证明: 设,为XY型区域 ,则,所以,若 不是 XY型区域 ,则可引进辅助面,将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .,正反两侧面积分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加, 即得所证 Gauss 公式：,例1. 用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解: 这里,利用Gauss 公式, 得,(用柱坐标),及平面 z = 0 , z = 3 所围空间,思考: 若 改为内侧, 结果如何?,若 为圆柱外侧
8、面呢?,另解:,例2. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解:,介于 z = 0 及,z = h 之间部分的下侧.,作辅助面,取上侧,所围区域为,则,利用重心公式, 注意,例3.,设 为曲面,取上侧, 求,解:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,作业：P296, 1(3), (4).,二、 斯托克斯( Stokes ) 公式,定理2. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数, 的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,证（略）。,则有,为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,例4. 利用斯托克斯公式计算积分
9、,其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个,解: 记三角形域为, 取上侧,则,边界, 方向如图所示.,利用对称性,例5*. 为柱面,与平面 y = z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针, 计算,解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,三*、空间曲线积分与路径无关的条件,定理3.,设 G 是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有,(2) 对G内任一分段光滑曲线 ,与路径无关,(3) 在G内存在某一函数 u, 使,(4) 在G内处处有,与路径无关, 并求函
10、数,解: 令, 积分与路径无关,因此,例6. 验证曲线积分,作业*：P296, 3(1).,“第22章 曲面积分”的习题课,一、内容要求,1、了解第一型曲面积分的概念和性质，掌握其计算法；,3、会高斯公式，了解斯托克斯公式， 知道曲线积分与路线无关的条件及应用；,4、了解曲面积分在几何、物理上的简单应用。,2、了解第二型曲面积分的概念和性质，掌握其计算法， 知道两类曲面积分的联系；,重要公式：,当,时，,（上侧取“+”, 下侧取“”),(Gauss 公式),1.,设,计算,解: 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,则,思考: 若例3 中被积函数
11、改为,计算结果如何 ?,2. 计算,3. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为,解:,4. 设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角, 计算,解:,5. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,其中 为半球面,的上侧.,解1: 以半球底面,原式 =,记半球域为 ,6、计算,为辅助面,且取下侧 ,利用高斯公式有,解2: 原式,7. 计算曲面积分,其中,解:,8. 设 是曲面,解: 取足够小的正数, 作曲面,取下侧使其包在 内,为 xoy 平面上夹于,之间的部分, 且取下侧 ,取上侧, 计算,则,第二项添加辅助面, 再用高斯公式得,9. 计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,10.,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算,解: 记 为平面,上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.,由斯托克斯公式,D 的形心,
