《gs1.3.2无穷小,连续,项级》由会员分享，可在线阅读，更多相关《gs1.3.2无穷小,连续,项级（103页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一般, 无穷小量的商有下列几种情形.,第六节 无穷小量的比较,则称(x)和(x)是同阶无穷小量,记作, (x)= O(x),则称 (x)是(x)的k阶无穷小量.,则称(x)和(x)是等价无穷小量,记作, (x) (x),显然, 若(x) (x), 则 (x)和(x)是同阶无穷小量,但反之不对.,比如,(i),(ii),(iii),n,10 0.1 0.01 0.2 0.105,100 0.01 0.0001 0.02 0.01005,1000 0.001 0.000001 0.002 0.0010005, ,定理1. 设(x), (x), (x), (x)是某极限过程中的无穷小量. f (x)
2、是另一变量, 且, (x) (x), (x) (x), 则,只须右端极限存在或为无穷大.,证: (1) 因为(x) (x), (x) (x),所以,类似可证(2), (3).,例1.,解:,由于当x0, tgx x,从而tg2x 2x.,当x0, sinx x,从而sin5x 5x.,故,例2.,解:,= 1,例3.,解:,= 0,或,= 0 1= 0,例4.,解:,= 1,事实上, 若作代换, 有,显然, 这个结果是错误的.,例5. 当x0时, tgx sinx是x的几阶无穷小量?,解: 首先注意结论: 若当x0时, f (x) = O(x), g(x) = O(x), 则 f (x) g(
3、x) = O(x+), 其中, , 均大于0.,由于 tgx sinx = tgx(1 cosx),因 tgx x , 而 1 cosx = O(x2).,故 tgx sinx = tgx(1 cosx ) = O(x3).,当x0时, sinx x, tgx x, arctgx x, arcsinx x, ex1 x, ln(1+x) x,常用的等价无穷小.,事实上, 当 y 0时, y = elny.,从而,= 1,注1.用符号“ ”表示无穷小量比无穷小量的极限问题.,用符号“ ”表示无穷大量比无穷大量的极限问题.,用符号“0 ”表示无穷小量乘以无穷大量的极限问题.,三种类型可以互化.,比
4、如,注2. 若当x0时, f (x) = O(x ), g(x) = O(x ), 0.,则 f (x) g(x) = O(x),例. 火箭升空时, 质量变化情形如图.,m0,t0,一般, 当 f (x)连续变化时, 其图形是一条连续曲线.,反之, 若 f (x)图形是一条连续曲线, f (x)则是连续变化的.,第七节 函数的连续性,一、函数的连续性,x,x,y,y,x,y,x,y,x0,f (x0),A,B,x x0,x x0,从图上可看出, (x)在x0间断. 但f (x)在x0连续.,(x)在x0的极限不存在, 而,y,y,x0,y = (x),y = f (x),定义1. 设f (x)
5、在x0的某邻域U(x0)内有定义.,且,则称f (x)在x0连续, x0称为f (x)的连续点.,否则称f (x)在x0间断, x0称为f (x)的间断点, 或称为不连续点.,由于当f (x)为多项式时, 有,所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续.,连续定义也可用 语言给出。,若对 0, 0,使得当|xx0|时,对应的函数值f (x)满足| f (x) f (x0) |,则称f (x)在x0处连续.,注: 与极限定义比较, 将“a“换成“ f (x0)“,将“0|xx0| “换成“ |xx0| “.,例1.,证:,又因为f (0)=0.,如图,还可得到, |x|在任何点x0处连续.
6、,称为x0的右邻域和x0的左邻域.,定义2.,则称f (x)在x0处右(左)连续.,设f (x)在x0的某右邻域 (某左邻域 )内有定义,定理1. f (x)在x0处连续 f (x)在x0左连续且右连续.,例2.,问a为何值时,f (x)在x=0连续.,解: f (0)=3,= 3,f (x)在 x = 0右连续.,为使f (x)在x=0连续, 必须 f (00)=f (0)=f (0+0),即, a=3.,故, a=3时, f (x)在x=0连续.,= a,例3.,问f (x)在x=0是否连续.,解: f (0)=1,=1,右连续.,故, f (x)在x=0间断.,= 1, f (0),不左
7、连续.,图形为,若f (x)在(a, b)内每一点连续, 则称f (x)在开区间(a, b)内连续.,记作 f (x)C(a, b).,C(a, b)表示在(a, b)内连续的函数全体所成集合.,其中,若f (x)在(a, b)内连续,且f (x)在x=a右连续.,在x=b左连续.,则称f (x)在闭区间a, b上连续.,记作 f (x)Ca, b.,一般, 设变量u从初值u0变到终值u1,记u=u1u0,称为变量u的增量(改变量).,u可正, 可负, 还可为0.,另外, u1 = u0+ u,记 y = f (x) f (x0) = f (x0 + x) f (x0),称为y在x0处相应于x
8、的增量(改变量).,设f (x)在U(x0)有定义,xU(x0),记 x =xx0,称为自变量x在x0处增量(改变量).,且 x = x0 + x,定义3.设y=f (x)在U(x0)有定义.,若当x = xx00时, 有y=f (x0+x)f(x0)0,则称f (x)在x0连续.,连续定义可用函数的增量的形式给出.,如图.,B=(x0),A,x0+ x,y,C,D,x0,x0,y=CD的长,y=(x),f (x0),x0+x,x0+x,x0,x0,x0,y,M,N,y=CD的长,y= (MN的长),C,D,y=f (x),定理2. 若f (x), g(x)在点 x0处连续, 则,(1) af
9、 (x)+bg(x)在x0处连续, 其中a, b为常数.,(2) f (x) g(x)在x0连续.,(3) 当 g(x0)0时,二、连续函数的基本性质,定理3. 设若y=f (x)由 y=f (u), u=(x)复合而成.,若u=(x)在x0连续,u0=(x0),而y=f (u)在u0,则复合函数y=f (x)在x0连续.,连续,证:,要证y=f (x)在x0连续, 只须证0, 0, 当|xx0| 时, 有| f (x) f (x0)|. 即可.,0, 因y=f (u)在u0连续,故 0, 当|uu0|, 有| f (u) f (u0)| .,又因u=(x)在x0连续.,从而对上述 0,0,
10、当|xx0|时, 有|uu0|= |(x) (u0)| .,进而有,| f (x) f (x0)| = | f (u) f (u0)| ,故y=f (x)在x0连续.,推论. 若lim(x) =A. 且 y=f (u)在 u=A连续, 则 limf (x) = f lim(x),式子,= f (x0)相当于,因此, 有,例4.,解:,定理4. 若y =f (x)在区间I上严格单调增加(减少)且连续,则其反函数x=f 1(y)在相应区间上严格单调增加(减少) 且连续.,定理5. 若y =f (x)在x0连续, 且f (x0)0 (0 (0).,定理6. (1) 基本初等函数在其定义域内连续.,(
11、2) 初等函数在其定义域内连续.,例5.,三、初等函数的连续性,称形如y=f (x)g(x)的函数为幂指函数, 其中f (x)0.,根据对数恒等式 y=elny, y0, 有f (x)gx = eg(x) lnf (x),即,因此, 当f (x), g(x)均连续时, f (x)g (x)也连续.,则,例6.,例7.,若 limf (x) = A 0. limg(x) = B, 存在.,例8.,= 21 = 2,例9.,例10.,若limf (x)=1, limg(x)= , 称limf (x)g(x) 为“ 1 ”型极限问题.,若limf (x)=0, limg(x)= 0, 称limf (
12、x)g(x) 为“ 00 ”型极限问题.,“ 1 ”, “00 ”和“0 ”型都不一定是无穷小量, 也不一定是无穷大量, 更不一定是1.,若limf (x)= , limg(x)= 0, 称limf (x)g(x) 为“0 ”型极限问题.,例11.,解: “1 ”型,原式 =,函数 f (x)在 x0连续可简单地表示为:,要使它成立, 必须,(1) f (x)在 x0有定义;,(2) f (x)在 x0的极限存在;,(3) 两者相等.,这三条有一条不成立, 则 f (x)在 x0不连续(间断).,四、函数的间断点,设 f (x)在 (x0)内有定义,若f (x)是下列情况之一,(1) f (x
13、)在 x0无定义;,(2) f (x)在 x0的极限不存在;,(3),则称 f (x)在 x0处间断, x0称为f (x)的一个间断点.,例1.,解:,在其定义域内都连续.,故其间断点必是使函数无定义的点.,因 f (x)只在 x=0处无定义,故x=0为f (x)的唯一间断点.,而 f (x)在 x=0无定义,此时, 补充定义:,则,例2.,解: 这是一个由初等函数组成的分段函数.,这种函数的间断点若存在,通常在分段点x=0处.,事实上, 在(, 0)内, f (x) = 2x, 连续,在(0, +)内, f (x) = sinx, 连续.,只须考虑在 x = 0是否连续即可.,而 f (0)
14、 = 1.,则,如图,x,o,y,2,1,y=sinx,y=2x,1,一般, 若x0是 f (x)的间断点,则称 x0为 f (x)的一个可去间断点.,例3.,解: 类似例2. 只讨论分段点 x = 0 处情况.,由于,x = 0为 f (x)的间断点.,看图,一般, 若f (x)在 x0处的左, 右极限都存在, 但不相等,则间断点 x0称为 f (x)的跳跃间断点.,如图,x,o,y,2,1,y=x2,y=2+(x1)2,1,2,可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.,或者说, 左, 右极限都存在的间断点称为第一类间断点.,不是第一类的间断点称为第二类间断点,或者说, 左, 右极限中至少
15、有一个不存在的间断点称为第二类间断点.,例4.,解: 间断点 x = 0.,故 x = 0 为第二类间断点.,一般, 若,中至少有,一个为无穷大,则称x0称为 f (x)的无穷型间断点.,例5.,解: 间断点 x = 0.,看图,故 x = 0 为第二类间断点.,定理1. (根的存在定理), 若f (x)Ca, b, 即f (x)在a, b上连续. 且 f (a) f (b)0.,则至少存在一点x0(a, b), 使得 f (x0) = 0.,看图.,定理1中的x0, 就是方程 f (x) = 0的根.,因此,也称定理1为根的存在定理.,第九节 闭区间上连续函数的性质,定理2. (介质定理), 设f (x)Ca, b, f (a) f (b),则对于介于f (a) 和 f (b)之间的任意一值c, 至少存在点x0(a, b
