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1、,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,五、单侧导数,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数的概念,第二章,1,一、引例 1. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,2. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内
2、有定义 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,注意:,就说函数,就称函数在 I 内可导.,的导数为无穷大 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,例1. 求函数,(C 为常数) 的导数.,解:,即,例2. 求函数,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,说明：,对一般幂函数,( 为常数),例如，,（以后将证明）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,例3. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,例4. 求函
3、数,的导数.,解:,即,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,原式,是否可按下述方法作:,例5. 证明函数,在 x = 0 不可导.,证:,不存在 ,例6. 设,存在, 求极限,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,三、 导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直 .,切线方程:,法线方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,四、 函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,反
4、例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,在点,的某个右 邻域内,五、 单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),例如,在 x = 0 处有,定义2 . 设函数,有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,定理2. 函数,在点,且,存在,简写为,定理3. 函数,(左),(左),若函数,与,都存在 ,则称,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,可导的充分必要条件,是,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算
5、求导法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的求导法则,第二章,15,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,自证:,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( C为常数 ),17,例1.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,例2. 求证,证:,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,例
6、3. 求反三角函数及指数函数的导数.,解: 1) 设,则,类似可求得,利用, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,2) 设,则,小结:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6.已学导数公式.,7.导数的四则运算法则.,8.反函数的求导法则.,23,思考与练习,1. 函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,是数值;,联系:,注意
7、:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24,2. 设,存在 , 则,3. 已知,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25,4. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26,备用题,解: 因为,1. 设,存在, 且,求,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,在,处连续, 且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导.,2. 设,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28,作业：P46 2. 3.（2）,备用题,解:,3. 设,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,
