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1、第九章 习题课,重积分,一 基本要求 1理解重积分的概念. 2了解重积分的性质，明确重积分是定积分的推广. 3掌握二重积分的计算方法（直角坐标极坐标），会计算简单的三重积分（直角坐标柱面坐标球面坐标）. 4会用重积分求一些几何量和物理量.,二.要点提示,二重积分是定积分的推广，其计算方法是化为二次积分来计算。三重积分可以化为一个单积分和一个二重积分或三次积分来计算。,1.重积分的计算,二重积分： 在直角坐标系下,则 （先y后x）,X-型区域:,若积分区域D可表示为,若积分区域D可表示为Y-型区域：,若D 不是X-型、Y-型 区域，可由重积分的 可加性来计算.,则(先x后y),在极坐标下 （一般
2、总是先对r 积分后对 积分）:,则,D:,若D不包含极点，,若D包含极点. D:,o,则,可以把复杂的二次积分化为较简单的 二次积分。 一般步骤为 所给二次积分 将D表示为不等式 画出积分域 D 的新的不等式表示 新的二次积分.,交换积分次序,三重积分： 设 在空间有界区域 上连续，,a. 直角坐标系,先二后一(截面法） 设 在 轴上的投影区间 为 ，有界闭区域 为平行于 面的 的任 意截面，则,b.柱面坐标系（图9-6） 柱面坐标与直角坐标的关系如下： 面积元素为,c.球面坐标系（图9-7） 球面坐标与直角坐标的关系如下： 体积元素为,2.二重积分的对称性 （1）如果D关于 轴对称，则 ，有
3、 其中 （2）如果D关于 轴对称，则 ，有 其中,（3）如果D关于原点对称，则 ，有 其中 同上。 （4）如果D关于直线 对称，则,答：不对。正确的是,三 问题与思考,问题2. 选择积分次序计算二重积分应该 考虑哪些方面? 交换积分次序的步骤是什么?,答：两个方面，被积函数和积分区域.,步骤是：由累次积分的积分限，还原出 积分区域，再将重积分按照新的次序化为 二次积分.,问题3. 针对积分区域和被积函数的特点, 如何选取直角坐标和极坐标以计算二重积分? 如何选取直角坐标、柱面坐标和球面坐标以 计算三重积分?,答：若积分区域为圆（部分）域、扇形或扇面等，被积函数中含有 ，则常采用极坐标计算二重积
4、分。,如果积分区域为球形域或部分球域，被积 函数化为球面坐标形式比较简单,等形式），利用球面坐标计算三重积分常能 简化运算.,如果积分区域在某坐标面上的投影为圆域、 扇形域、圆环域或它们的一部分，被积函数 化为柱面坐标形式比较简单（比如 等形式），则利用柱面坐标计算三重积分常 能简化运算.,问题4写出在不同坐标下的二重积分的 面积元素和三重积分的体积元素。,四 典型题目,为三顶点的三角形区域.,若改变积分次序，计算繁.,2.解 由对称性，有,注意：,4.分别用三种不同的坐标和先二后一法计算,解 直角坐标：,柱面坐标：,球面坐标：,先二后一法：,注：如果被积函数只依赖于一个变量， 而以该变量去截积分区域而截面的面积 又容易求得时，用“先二后一”法来计算 三重积分常常能简化运算.,5.分别利用定积分，二重积分和三重积分 计算旋转抛物面 和平面 所围成的空间区域的体积.,解 用定积分计算旋转体的体积,用二重积分计算,用三重积分计算，利用柱面坐标，有,
