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1、习题课,一、 重积分计算的基本方法,二、重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,第十章,重积分,一、重积分计算的基本方法,柱面坐标系,球面坐标系,解,解,解,解:,A,例4,计算三重积分,其中,为三个坐标面,及平面,所围成的闭区域.,x+y=1,B,或解：,闭区域Dxy可表示为：,例5,解,解,如图,原式=,解,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 利用重积分的几何意义,2. 利用对称性简化计算,3. 消去被积函数绝对值符号,4.交换积分顺序的方法,1、利用对称性简化计算二重积分,注： 关于 对称，即 互换 ， 保持不变.,（轮换对称性），,注意:,2：利用对称性简化计算三重
2、积分,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于x,y,z的奇偶性,结论1,如果积分区域 关于平面 对称（轮换对称性）,特别地,则,注： 关于 对称，即 互换， 保持不变.,结论2,解,可表示为( ),(A),（B）,(C),(D),解:,由对称性,例3,解,由轮换对称性，有,分析：,故本题可利用对称性及积分的性质计算.,解,例4.,例5.,( ),(A),（B）,(C),(D),解:,由对称性,例6,提示:,利用对称性,用球坐标,例1.,解,先去掉绝对值符号，如图,3、含绝对值函数的二重积分的计算,例2. 计算二重积分,解,解,1,1,4、交换积分次序
3、的方法,A,(A),（B）,(C),(D),解 如图,例7,1. 几何方面：,（1）面积,平面域D的面积,曲面面积公式,设光滑曲面,三、重积分的应用,（2）立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,质量, 转动惯量, 质心, 引力,2. 物理方面：,平面薄片D的质量,占有空间有界域 的立体的质量为,（1）质量,若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,则它的质心坐标为,其面密度为,（2）质心,为,(A 为 D 的面积),得D 的形心坐标:,数时，,则得形心坐标：,设物体占有空间域 ,有连续密度函数,当 常数时，,薄片对于x轴的转动惯量,薄片对于y轴的转动惯量,(3) 转动惯量,(A),（B）,(C),(D),
