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1、学案4 平面向量应用举例,,返回目录,1.向量在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 ab . (2)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件 ab .,考点分析,返回目录,利用夹角公式,平行,返回目录,与a=(a1,a2)平行且过P(x0,y0)的直线方程为 ;过点P(x0,y0)且与向量a=(a1,a2)垂直的直线方程为 . (6)两条直线的夹角 已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0, 则n1=(A1,B1)与l1垂直，n2=(A2,B2)与l2垂直，则l1和l2的夹角便是n1与n2的夹角（或其补角）. 设l
2、1与l2的夹角是，则有cos= = .,a2x-a1y+a1y0-a2x0=0,a1x+a2y-a2y0-a1x0=0,|cos|,2.向量在物理中的应用 (1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用. (2)向量在速度的分解与合成中的应用.,返回目录,返回目录,已知向量m=(2sinx,cosx),n=( cosx,2cosx),定义函数f(x)=loga(mn-1)(a0,且a1). (1) 求函数f(x)的最小正周期； (2)确定函数f(x)的单调递增区间.,考点一 向量在三角函数中的应用,题型分析,返回目录,【分析】 通过向量的数量积运算得到一个复合函数f(x)=loga 2sin(
3、2x+ ) ,根据复合函数的单调性进行解决.,【解析】 (1)因为mn=2 sinxcosx+2cos2x = sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ )+1, 所以f(x)=loga 2sin(2x+ ) ，故T= =.,返回目录,(2)令g(x)=2sin(2x+ ), 则g(x)单调递增的正值区间是( k- ,k+ ，kZ, g(x)单调递减的正值区间是k+ ,k+ ),kZ. 当01时，函数f(x)的单调递增区间为 ( k- ,k+ ，kZ.,返回目录,【评析】这类问题主要是向量与三角知识点的综合.解决问题的主要方法是: 通过向量的运算把问题转化为三角问题,再利用三角函数的知识解
4、决.,对应演练,已知向量a=(sin,1),b=(1,cos),- . (1)若ab,求; (2)求|a+b|的最大值.,返回目录,(1)ab ab=0 sin+cos=0 =- . (2)|a+b| 当sin(+ )=1时，|a+b|有最大值,此时= ,最大值为 .,返回目录,返回目录,如图4-4-1,在RtABC中,已知BC=a,若长为 2a 的线段PQ以点A为中点,问PQ与BC的夹角取何值时BPCQ的值最大?并求出这个最大值.,【分析】 解答本题的关键是要结合图形,利用向量 的三角形法则找出向量之间的关系;或建立适当的坐标系,利用向量的坐标形式来解答.,考点二 向量在平面几何中的应用,【
5、解析】解法一:ABAC，ABAC=0. AP=-AQ,BP=AP-AB,CQ=AQ-AC, BPCQ=(AP-AB)(AQ-AC)=APAQ-APAC-ABAQ+ABAC=-a2-APAC+ABAP =-a2+AP(AB-AC)=-a2+ PQBC=-a2+a2cos，故当cos=1,即=0(PQ与BC的方向相同)时,BPCQ最大, 其最大值为0.,返回目录,返回目录,解法二:以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b).且|PQ|=2a,|BC|=a,设点P的坐标为(x,y),则Q(-x
6、,-y). BP=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b), BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y), BPCQ=(x-c)(-x)+y(-y-b) =-(x2+y2)+cx-by.,【评析】 平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起, 使它们之间的相互转化得以实施.因此,一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题,利用实数的有关知识来解决问题;另一方面,也要善于把实数问题转化为向量问题,利用向量作工具来解决相关问题., , cx-by=a2cos,BPCQ=-a2+a2cos. 故当cos=1,即=0(PQ与BC方向相同）时，BPCQ最大，其最大值为0.
7、,返回目录,返回目录,对应演练,在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAC,E是垂足,F是DE的中点,求证:AFBE.,证明:AB=AC,且D是BC的中点, ADBC,ADBC=0.又DEAC, DEAE=0.BD=DC,F是DE的中点, EF=- DE. AFBE=(AE+EF)(BD+DE) =AEBD+AEDE+EFBD+EFDE,=AEBD+EFBD+EFDE =(AD+DE)BD+EFBD+EFDE =ADBD+DEBD+EFBD+EFDE =DEDC- DEDC- DEDE = DEDC- DEDE= DE(DC-DE) = DEEC=0. AFBE.,返回目录,返回目录,已
8、知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,一条经过点(3,- )且方向向量为v=(-2, )的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于M点,又AM=2MB. (1)求直线l的方程; (2)求椭圆C的长轴长的取值范围.,考点三 向量在解析几何中的应用,返回目录,【解析】 (1)直线l过点(3,- ),且方向向量为v=(-2, ), l的方程为 , 化简得y=- (x-1).,【分析】 (1)可用点斜式求直线l的方程 ; (2)直线方程与椭圆方程联立,消元转化为关于x(或y)的二次方 程,借助判别式找出关于a,b的不等式.注意ab的隐含条件和消元思想在解题中的作用.,(2)设直线y=- (x-1)和椭圆 交
9、于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),和x轴交于M(1,0),如图所示. 由AM=2MB,知y1=-2y2. 将x=- y+1代入b2x2+a2y2=a2b2中,得 ( b2+a2)y2- b2y+b2(1-a2)=0. ,返回目录,由韦达定理知,由2，得32b2=(4b2+5a2)(a2-1). 化为 . 对方程，由0，即=( b2)2-4( b2+a2) b2(1-a2)0，化简得5a2+4b25. 将式代入可知5a2+ 5，求得11,得1b2. 由知4b2= 4a2.结合1a3,求得1a . 因此所求椭圆长轴长2a的取值范围为(2, ).,返回目录,返回目录,【评析】 (1) 向量
10、与解析几何的综合是高考中的热点,主要题型有:向量的概念、运算、性质、几何意义与解析几何问题的结合 ； 将向量作为描述问题或解决问题的工具 ； 以向量的坐标运算为手段，考查直线与圆锥曲线相交、轨迹等问题. (2) 本题把解析几何与向量、方程、函数、不等式等知识 有机地结合为一体，体现了解析几何的基本思想、方法和方程的数学思想.,返回目录,对应演练,给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A,B两点. (1)设l的斜率为1，求OA与OB夹角的余弦值的大小; (2)设FB=AF，若4,9，求l在y轴上截距的变化范围.,cos= .,（1）C的焦点为F(1,0)，直线l的斜率为
11、1，所以l的方程为y=x-1. 将y=x-1代入方程y2=4x,得x2-6x+1=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1+x2=6,x1x2=1. OAOB=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3. |OA|OB|=,返回目录,返回目录,(2)由题设FB=AF得(x2-1,y2)=(1-x1,-y1). x2-1=(1-x1) y2=-y1 由得, . 联立解得x2=,依题意有0, B,即,又F(1,0)，得直线l的方程为 (-1)y=2 (x-1)或(-1)y=-2 (x-1). 当4,9时，l在y轴上的截距为 或 . 由 ,可知 在4,9上是递减的, ,即 直线l在y轴上截距的变化范围为 ,返回目录,返回目录,1.向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性.在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决. 2.在用向量解决物理中的问题时，要注意读懂题意，将实际问题转化为数学问题；在给出答案时也要考虑所给出的结果要满足实际意义.,高考专家助教,祝同学们学习上天天有进步！,
