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1、1,2,第四章 决策中的收益、损失与效用,4.1 决策问题的三要素 4.2 决策准则 4.3 先验期望准则 4.4 损失函数 4.5 常用损失函数 4.6 效用函数,3,4.1 决策问题的三要素,决策就是对一件事要作决定.它与推断的差别在于是 否涉及后果.统计学家在作推断时是按统计理论进行的, 很少考虑结论在使用后的损失.可决策者在使用推断结 果时必需与得失联系在一起,能带来利润的就会用,使他 遭受损失的就不会被采用,度量得失的尺度就是损失函 数.它是著名的统计学家A.Wald(1902-1950)在40年 代引入的一个概念.从实际归纳出损失函数是决策的关 键. 贝叶斯决策:把损失函数加入贝叶
2、斯推断就形成贝叶 斯决策论,损失函数被称为贝叶斯统计中的第四种信息.,一、决策的基本概念,4,例1 设甲乙二人进行一种游戏,甲手中有三张牌,分别标以 .乙手中也有三张牌, 分别标以 .游戏的规则是双方各自独立地出牌,按下表计算甲的得分与乙的得分.,甲的得分矩阵(乙的失分矩阵),这是一个典型的双人博弈(赌博)问题.不少实际问题可归结为双人博弈问题.把上例中的乙方改为自然或社会,就形成人与自然(或社会)的博弈问题.,5,例2 某农作物有两个品种:产量高但抗旱能力弱的品种 和抗旱能力强但产量低的品种 .在明年雨量不知的情况下,农民应选播哪个品种可使每亩平均收益最大?这是人与自然界的博弈.以明年600
3、mm雨量为界来区分雨量充足 和雨量不充足 .写出收益矩阵(单位:元),6,例3 一位投资者有一笔资金要投资.有以下几个投资供他选择: :购买股票,根据市场情况,可净赚5000元,但也可能亏损10000元; :存入银行,不管市场情况如何总可净赚1000元.,这位投资者在与金融市场博弈.未来的金融市场也有二种情况:看涨 与看跌 .可写出投资者的收益矩阵,投资者将依据此收益矩阵决定他的资金投向何方. 这种人与自然(或社会)的博弈问题称为决策问题.,7,二、决策问题的三要素,1. 状态集 ,其中每个元素 表示自然界(或社会)可能出现的一种状态,所有可能状态的全体组成状态集.（如例2中的两种状态：雨水充
4、足和雨水不充足）,2. 行动集 ,其中a表示人对自然界可能采取的一个行动. 注意：一般行动集有两个以上的行动供选择.若有两个行动无论对自然界的哪一个状态出现, 总比 收益高,则 就没有存在的必要,可把它从行动集中去掉,使留在行动集中的行动总有可取之处.,8,3.收益函数 。函数值 表示当自然界处于状态 ,而人们选取行动 时所得到的收益大小。,收益函数的值可正可负，其正表示赢利，负表示亏损，单位常用货币单位。收益函数的建立不是件容易的事，要对所研究的问题有全面的了解才能建立起来(P125例4)。收益矩阵,9,4.2 决策准则,一、行动的容许性 二、决策准则 1.乐观准则 2.悲观准则 3.折中准
5、则,10,一、行动的容许性,定义：在给定的决策问题中，A 中的行 动a1称为是容许的。假如在A 中不存在满足 如下两个条件的行动a2， 1.对所有的，有Q(,a2)Q(,a1) 2.至少有一个,可使上式不等式严格成立。 假如这样的a2存在的话,则称a1是非容 许的;假如二个行动a1和a2的收益函数在上 处处相等,则称行动a1与a2是相等的。,11,两点说明：,1.一般情况下，行动集中只存在容许行动。 2.上面的讨论是对收益函数而言的，但我们还可以对支付函数（或亏损函数、成本函数）进行讨论，此时需要支付函数（或亏损函数、成本函数）越少越好。,12,13,二、决策准则,1.乐观准则 (1)定义：乐
6、观准则也称“好中求好”决策准则， 或称“最大最大”决策准则。这种决策准则就是充分 考虑可能出现的最大利益，在各最大利益中选取最 大者，将其对应的方案作为最优方案。这种决策准 则的客观基础就是所谓的天时、地利和人和，决策 者感到前途乐观，有信心取得每一决策方案的最佳 结果。,14,(2)乐观准则决策方法的一般步骤：,确定各种可行方案； 确定决策问题将面临的各种自然状态； 将各种方案在各种自然状态下的收益值列于决策 矩阵表中(表4-1)； 求每一方案在各自状态下的最大收益值，将其填 写在决策矩阵表的最后一列； 取 中的最大值 ，所对 应的方案为最佳决策方案。,15,“乐观准则”决策矩阵表,表4-1
7、,16,(3)“乐观准则”决策方法的应用,假设某一决策问题的决策收益矩阵表如 下，按乐观准则选取最优方案。,17,假设某一决策问题的决策损失矩阵表如 下，按乐观准则选取最优方案。,18,2.悲观准则,(1)定义：悲观准则又称“小中取大”决策准则或叫“坏中求好”决策准则。这种决策准则的客观依据是决策的系统功能欠佳，形势对决策者不利，所以，决策者没有理由希望获得最理想的结果。面对这种情况，决策者必须从每一方案的最坏处着想，从每个方案的最坏结果中选择一个最佳值，即在所有不利的收益中，选取一个收益最大的方案作为最优决策方案。,19,(2)悲观准则决策方法的一般步骤：,若决策矩阵为收益矩阵，则先对每一行
8、动选 出最小的收益，再在所有选出的最小收益中选 取最大值。此最大值对应的行动就是悲观准则 下的最优行动； 若决策矩阵为损失矩阵，则先对每一行动选 出最大的损失，再在所有选出的最大损失中选 取最小值。此最小值对应的行动就是悲观准则 下的最优行动；,20,(3)“悲观准则”决策方法的应用,假设某一决策问题的决策收益矩阵表如下，按悲观准则选取最优方案。,21,假设某一决策问题的决策损失矩阵表如 下，按悲观准则选取最优方案。,22,3.折中准则,(1)定义:折中准则又称系数决策准则,是对悲观准则和乐观准则进行折中的一种决策准则. 是一个依决策者认定情况乐观还是悲观而定的系数,称为乐观系数.若认定情况完
9、全乐观,则=1,若认定情况完全悲观,则=0;一般情况下,则01.,23,(2)折中准则的基本步骤,第一步:确定系数的值; 第二步:对每一行动a计算:,其中 表示行动a的最大收益值, 表示行动a的最小收益值,第三步:取行动a0,使H(a0)达到最大,即 此种a0就是这种准则下的最优行动.,24,(3)折中准则决策方法应用案例,某工厂预备生产一种新型童车,根据市场需求分析和 估计，产品销路可分为三种状态:1-销路好;2-销路 一般;3-销路差.可供选择的行动方案也有三种:a1,大 批量生产;a2,中批量生产;a3,小批量生产.根据产量多 少和销售情况，工厂的盈利情况也有所不同,可能获利 也可能亏损
10、,将此数值称为损益值.获利时称为收益值, 亏损时称为损失值，用负号表示.现调查得本月的损益 值见下表.试用系数法作出决策.,25,新型童车损益值表,26,解:第一步,确定系数的值=0.6 第二步,计算H(a) H(a1)=0.6max(30,23,-15) +0.4min(30,23,-15)=12(万元) H(a2)=0.6max(25,20,0) +0.4min(25,20,0)=15(万元) H(a3)=0.6max(12,12,12) +0.4min(12,12,12)=12(万元) 第三步,计算收益中的最大者 H(a0)=max(12,15,12)=15(万元) 所以最佳方案应为中批
11、量生产,即为a2.,27,4.3 先验期望准则,一、先验期望准则 (1)定义：对给定的决策问题，若在状态集上有一个正常的先 验分布()，则收益函数Q(,)对()的期望与方差 分别称为先验期望收益和收益的先验方差。使先验平均收益达 到最大的行动a 称为先验期望准则下的最优行动。若此种最优行动不止一个， 其中先验方差达到最小的行动称为二阶矩准则下的最优行动。,28,几点说明：,1.定义中的先验分布只能用正常先验分布，而不能采用广义先验分布。 2.如果在比较先验期望收益的大小时，有两个或两个以上的行动使先验期望收益达到最大，这时才需要比较先验方差的大小做出决策。 3.使用合理的先验信息，按照先验期望
12、准则和二阶矩准则进行决策，所得结果更加可信。,29,(2)案例分析,例1 某厂准备开发一种新产品，有三种方案供选择： a1、a2和a3。预计一年后市场对该种产品的需求量 可分为较高、一般和较低。且预计一年后市场需求量 是高、中、低的主观概率为：(1)=0.6,(2)= 0.3,(3)=0.1,同时算得收益矩阵如下。试用先验 期望准则确定最佳行动方案。,30,先验期望准则和其他准则的关系,31,例2 (P125例题4.4),例3 一卖花姑娘每天从花市按每棵5元购进，而按每棵10元卖出，当天若卖不完则剩下的花只能当垃圾。问该姑娘每天购进多少花？,32,二、两个性质,定理4.1 在先验分布不变的情况
13、下，收益函数的线性变换不会改变先验期望准则下的最优行动。 定理4.2 设1为状态集的一个非空子集，假如在1上的收益函数Q(,a)都加上一个常数c，而在上的先验分布不变，则在先验期望准则下的最优行动不变。 例4(P138例题4.11),33,4.4 损失函数,1.损失函数的含义,这里的损失函数不是负的收益，也不是亏损。例如，某商店一个月的经营收益为-1000元，即亏1000元。这是对成本而言。我们不称为损失，而称其为亏损。我们讲的损失是指“该赚而没有赚到的钱”，例如该商店本可以赚2000元，但由于某种原因亏了1000元，那我们说该商店损失了3000元。用这种观点认识损失对提高决策意识是有好处的。
14、,按上述观点从收益函数可以很容易获得损失函数。,34,例5 某公司购进某种货物可分大批、中批和小批三种行动，记为 。未来市场需求量可分为高、中、低三种状态，记为 。三个行动在不同市场的利润如下:,这是一个收益矩阵,我们把它改写成损失矩阵如下:,由此可见,决策者在做决策时,要尽量避免大损失, 追求小损失甚至无损失.,35,2.损失函数,构成决策问题的三要素:,由收益函数容易获得损失函数,例6 某公司购进一批货物投放市场,若购进数量 低于市场需求量 ,每吨可赚15万元, 若购进数量 超过市场需求量 ,超过部分每吨反而要亏35万元.由此可写出收益函数,显然,当购进数量 等于市场需求量 时,收益达到最
15、大为15 . 则立即可得损失函数:,36,3.损失函数下的悲观准则,第一步,对每个行动 ,选出最大损失值,记为,第二步,在所有选出的最大损失中再选出最小者 , 则 满足,则称 为悲观准则下的最优行动.这是一种保守策略.不求零损失,但愿少损失.,37,例7 某公司购进某种货物可分大批、中批和小批三种行动，记为 ，未来市场需求量可分为高、中、低三种状态，记为 ,三个行动在不同市场的收益矩阵和损失矩阵如下:,试比较在Q与L下的最优行动。 思考：为什么所选行动不一样？,38,例8 某股票投资者对金融市场上的两种资产进行投资,其收益矩阵如Q,请帮助作出合适的决策(按悲观准则).,用Q做决策(按悲观准则)
16、, 结果为a2是最佳行动,显然该 决策不好。 用L做决策(按悲观准则), 结果为a1。 说明这样一个道理:用损 失函数做决策要比用收益函 数做决策更合理(P143)。,39,4.损失函数下的先验期望准则,(1)定义:对给定的决策问题，若在状态集上有一个正常的先 验分布()，则损失函数L(,)对()的期望与方差 分别称为先验期望损失和损失的先验方差。使先验期望损失达 到最小的行动a 称为先验期望准则下的最优行动。若此种最优行动不止一个， 其中先验方差达到最小的行动称为二阶矩准则下的最优行动。,40,注意事项:,1.定义中的先验分布只能用正常先验分布，而不能采用广义先验分布。 2.损失的先验方差有着
