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1、,二、函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第三节,函数的连续性,三、初等函数的连续性,四、闭区间上连续函数的性质,1:增量:自变量的增量,函数的增量,2:一点连续的定义:,一、 函数连续性的定义,若,在,则称函数在该点连续。,的某一邻域内有定义，,设,注 1、函数,在点,(1),在点,即,(2) 极限,(3),连续必须具备下列条件:,存在 ;,有定义 ,存在 ;,2、由函数在一点有极限的充要条件有: 一点连续的充要条件:,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一函数 f
2、 (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,若,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,则 为可去间断点 .,则 为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,、连续函数的运算法则,三、初等函数的连续性,、初等函数的连续性,定理3： 连续单调递增 函数的反函数,、连续函数的运算法则,定理2：在某点连续的有限个函数经有限次和 差
3、、积 、,商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,(递减).,递增,(递减),也连续单调,定理4： 连续函数的复合函数是连续的.,定理1：基本初等函数在其定义区间上连续。,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解: 令,则,原式,说明: 当,时, 有,、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,四、闭区间上连续函数的性质,1、最值定理,2、零点定理（根的存在定理）,推论:,2、零点定理,定理2( 零点定理 ),至少有一点,且,使,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,1、最值定理,定理1:在
4、闭区间上连续的函数,在该区间上一定有最大,值和最小值.,例1. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论 其左、右连续性.,、初等函数的连续性,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,为,连续函数.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,至少有一个不超过 4 的,证：,3、证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,正根 .,
