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1、,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,高斯公式,第十一章,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,下面先证:,函数 P, Q, R 在,面 所围成,则有,(Gauss 公式),高斯, 的方向取外侧,证明: 设,称为XY -型区域 ,则,定理1,（现一后二）,（3在Dxy上的投影是圆环，面积为零）,所以,若 不是 XY型区域 ,则可引进辅助面,将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .,正反两侧面积分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加, 即得所证 Gauss 公式：,定理1,例1. 用Gauss 公式计算
2、,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解: 这里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,及平面 z = 0 , z = 3 所围空间,利用质心公式, 注意,例2. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解: 作辅助面,取上侧,介于z = 0及 z = h,之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角.,所围区域为 ,则,利用质心公式, 注意,思考: 计算曲面积分,提示: 作取上侧的辅助面,介于平面 z= 0 及 z = 2,之间部分的下侧.,先二后一,例3.,设 为曲面,取上侧, 求,解:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,内容小结,1. 高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1) 计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1),(2), 为,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域 ,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、 微分几何、 超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,
