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1、2019年1月12日星期六,1,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面。,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位置。,点击图中任意点动画开始或暂停,第六节 多元微分学的几何应用,2019年1月12日星期六,2,1. 空间曲线方程为参数方程,切线方程：,则,在(x0, y0, z0)处有,切向量：,法平面方程：,法向量：,2019年1月12日星期六,3,例2,求圆柱螺旋线,在 对应点处的切线方程和法平面方程。,2019年1月12日星期六,4,2. 空间曲线方程为,则在(x0, y0, z0)处有,切线方程：,法平面方程：,2019年1月12日星期
2、六,5,3. 空间曲线为一般式方程,则 在P0 (x0, y0, z0)处有,切线方程,法平面方程,切向量（法向量）：,2019年1月12日星期六,6,例2 求曲线,在点M ( 1,2, 1),处的切线方程与法平面方程。,二、空间曲面的切平面与法线,1. 空间曲面方程为：,命题：,曲面上通过M (x0, y0, z0)点的所有曲线在M处的切线都,在同一平面上，此平面称为 在M点的切平面，其方程为,2019年1月12日星期六,7,证明：,设曲面上任取一条通过点M的曲线方程为,显然，只需证明：,则：曲线在M点的切向量为,曲面在M点的切平面的法向量为,（略）,2019年1月12日星期六,8,法线方程
3、：,通过M点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。,2. 空间曲面方程为：,曲面在M处的切平面方程为：,曲面在M处的法线方程为：,2019年1月12日星期六,9,切平面上点的竖坐标的增量,全微分的几何意义：,(1) z=f (x, y)在(x0, y0)的全微分等于曲面z=f (x, y)在点(x0, y0, z0) 处的切平面上的点的竖坐标的增量。,(2) z=f (x, y)在(x0, y0)的全微分存在,曲面z=f (x, y)在点(x0, y0, z0)处的切平面存在。,例4 求旋转抛物面z=x2+y2-1点(2,1,4)处的切平面及法线方程。,2019年1月12日星期六,10,其
4、中：,若规定法向量 的方向是向上的（即使得 与z轴正向成锐角）， 则法向量的方向余弦为：,解：,设(x0, y0, z0) 为曲面上的切点, 则 且,得所求切点为：,2019年1月12日星期六,11,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 故,又点 M 在球面上,因此有,例6 确定正数 使曲面,M(x0, y0, z0) 相切。,与球面,在点,2019年1月12日星期六,12,课外作业,2019年1月12日星期六,13,思考与练习,1. 如果平面,与椭球面,相切,提示: 设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),2019年1月12日星期六,14,证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点。,提示: 在曲面上任意取一点,则通过此,2. 设 f ( u ) 可微,证明原点坐标满足上述方程 。,点的切平面为,2019年1月12日星期六,15,1. 证明曲面,与定直线平行,证: 曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为：,则,(定向量),故结论成立 .,的所有切平面恒,备用题,2019年1月12日星期六,16,2. 求曲线,在点(1,1,1) 的切线与法平面。,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为：,由此得切线:,法平面:,即：,
