《闭区间上连续函数的性质（48）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《闭区间上连续函数的性质（48）（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,1.10 闭区间上连续函数 的性质,介值定理( intermediate value theorem ),小结 思考题 作业,最大值(maximum )和 最小值(minimum)定理,第一章 函数与极限,2,定义,例,设f (x)在区间I上有定义,使得当,恒有,若存在点,为函数f(x)在区间I上的,最小 值,记为,则称,(大),一、最大值和最小值定理,3,在闭区间上连续的,(1) 定理1中的条件“闭区间”和“连续性”,定理1(最大值和最小值定理),函数一定有最大值和最小值.,是不可少的.,4,在开区间(0,1)内连续,在(0,1)内,又如:,在闭区间0,2上有,函数f (x)在0,2上,
2、既没有最大值,如:,函数,没有最大值或最小值.,也没有最小值.,间断点,函数,5,(2) “闭区间”和“连续性”,在开区间,取得最小值,函数,处取得最大值 1.,而不是必要条件.,如,函数,内连续,但它在,处取得最大值1;,又如,在闭区间,上有间断点,取得最小值,但它在,仅是定理的充分条件,6,证,由定理1(最值定理),定理2(有界性定理),有,取,则有,7,的零点.,定理3(方程实根的存在定理),使得,零点定理,几何意义:,如图所示.,二、介值定理,8,定理4(介值定理),使得,证,零点定理,辅助函数,9,几何意义:,至少有一个交点.,10,几何意义:,之间的任何值(不会有任何遗漏).,推论
3、,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,与最小值,11,闭区间上连续函数的性质常用于:,证明某些等式或不等式;,判断某些方程根的存在性或实根的范围.,12,例,证,由零点定理,13,例,证,由零点定理,使,辅助函数,14,证,例,证明:,令,介值定理,使,即得,15,注,方程f(x)=0的根,函数f(x)的零点,有关闭区间上连续函数命题的证明方法,10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理,20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数， 再利用零点定理,16,辅助函数的作法,（1）将结论中的(或x0或c)改写成x,（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x) 则F(x)即为所求,区间一般在题设中或要
4、证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。,17,三、小结,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,18,2.,练习题,设 f (x)C ( a, b ),证明: 至少存在一点 x1 , xn , 使得,3.,a x1 x2 xn b,至少有一个不超过 a + b 的正根.,证明方程
5、x = a sin x + b ( a 0, b 0 ),1.,19,至少有一个不超过 a + b 的正根.,证明方程 x = a sin x + b ( a 0, b 0 ),设 f (x) = x a sin x b , x 0, a + b ,则 f (x)C( 0, a + b ),而 f (0) = 0 a sin 0 b = b 0,f (a + b) = (a + b) a sin (a + b) b,= a ( 1 sin (a + b) ) 0,1.,证,20,1) 如果 f (a + b)0, 则 = a + b 就是方程的根.,即方程至少有一个不超过 a + b 的正根.,定理, 至少存在一个 ( 0, a + b ), 使得 f ( ) = 0.,2) 如果 f (a + b) 0, 则 f (0) f (a + b) 0, 由根存在,综上所述, 方程在 ( 0, a + b 上至少有一个根,21,2.,证:,由零点定理知,总之,22,设 f (x)C ( a, b ),证明: 至少存在一点 x1 , xn , 使得,3.,a x1 x2 xn b,证,由介值定理, 至少存在一点 x1 , xn ,使,23,作业,习题1-10 (73页),1. 2. 4.,
