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1、第九讲,连续函数的运算与初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质,第九节,连续函数的运算与初等函数的连续性,一、连续函数的和、差、积、商的连续性,二、反函数的连续性,三、复合函数的连续性,四、初等函数的连续性,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,高等数学,一、连续函数的和、差、积、商的连续性,在其定义域内连续,定理1,例如,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,高等数学,二、反函数的连续性,定理2,在 1, 1 上也单调增加且连续,增加( 或单调减少)且连续.,例如,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,高等数学,三、复合函数的连续性,定理3,例1 求下列各极限：,第九节 连续函
2、数的运算与初等函数的连续性,定理4（复合函数的连续性）,若函数,在点,连续,且,而函数,则复合函数,在点,也连续 即,在点,设函数,由函数,与函数,复合而成,连续,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,高等数学,例2 求下列各极限：,(1) 若,则有,(2) 若,则有,幂指函数,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,说明:,高等数学,四、初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,的连续区间为,的连续区间为,的定义域为,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,高等数学,二、零点定理与介值定理,一、有界性
3、与最值定理,闭区间上连续函数的性质,第十节,第十节 闭区间上连续函数的性质,高等数学,一、有界性与最值定理,1最大(小)值定义：,总有,(最小值),简称最值.,第十节 闭区间上连续函数的性质,高等数学,2. 最值定理,定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上一定,即: 设,则,使,取得它的最大值和最小值.,第十节 闭区间上连续函数的性质,高等数学,第十节 闭区间上连续函数的性质,高等数学,推论,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,第十节 闭区间上连续函数的性质,高等数学,定理2 ( 零点定理 ),二、零点定理与介值定理,第十节 闭区间上连续函数的性质,高等数学,定理3 (介值定理),及,则对
4、A 与 B 之间的任意一个数 C ,在开区间,上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值,推论,在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最,大值之间的任何值 .,第十节 闭区间上连续函数的性质,高等数学,例1 证明方程,一个根 .,说明:,内必有方程的根,取,的中点,内必有方程的根,二分法,在区间,内至少有,则,则,第十节 闭区间上连续函数的性质,例2 设,试证：,且,使得,例3 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,一刀剪为面积相等的两片.,第十节 闭区间上连续函数的性质,高等数学,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,1.连续函数的运算与初等函数的连续性,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,2.闭区间上连续函数的性质,内容小结,作业 P69 3 (2) , (3) , (6) , (7) ; 4 (2) , (4) ,(6) ; 6 P74 2; 3; 5,
