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1、第五章 不定积分,在微分学中我们已经介绍了求一个已知函数的导数与微分的问题，在科学技术和经济管理中，常常需要研究其逆运算，即已知函数的导数，求这个函数.这种由导数或微分求原函数的运算，称为不定积分.,微分法:,积分法:,互逆运算,第一节 不定积分的概念与性质,第二节 换元积分法,第三节 分部积分法,主要内容：,第四节 有理函数积分,第一节 不定积分的概念与性质,二、 基本积分表,三、不定积分的性质,一、 原函数与不定积分的概念,一、原函数与不定积分的概念,定义1 如果在区间 I 上, 可导函数 F (x) 的导数为 f (x), 即对任意的 xI, 均有,则称函数 F (x) 为 f (x)
2、区间 I 上的一个原函数.,F (x) = f (x) 或 dF (x) = f (x)dx,例如, 当 x(-, +) 时, 因为 (sinx)=cosx, 所以 sinx 是 cosx 在 (-, +) 内的一个原函数.,又如, 当 x (0, +) 时, 因为,在区间 (0, +) 内的一个原函数.,定理 (原函数存在定理),简言之, 连续函数必有原函数.,I 上连续, 那么在区间 I 上存在可导函数 F(x), 使得对任意的xI , 均有 F (x) = f (x) .,如果函数 f (x) 在区间,一个原函数, 则 F (x) + C 也是 f (x) 的原函数.,所以, 如果F (
3、x)是 f (x) 的,由于常数的导数等于零,另一方面, 如果 F (x) 和 G (x) 都是 f (x) 的原函数, 则有F (x) G (x) = 0, 即 F (x) = G (x) + C,所以, f (x) 的任意两个原函数之间只相差一个常数.,这样就得到: 如果 F (x) 是 f (x) 在区间 I 上的原函数, 则在区间 I 上, f (x) 的所有原函数可表示为 F (x) + C .,在区间 I 上, 函数 f (x) 的带有任意常数,其中, 记号 称为积分号, f (x) 称为被积函数, f (x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量.,如果 F (x) 是 f (x
4、) 的一个原函数, 则有,项的原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分, 记做,定义2,也就是，函数的不定积分就是其原函数的全体。,例1 求,解 因为 (x3) = 3x2, 所以,例2 求,解 因为,例3 求,解 当 x 0 时, 因为,当 x 0 时, 因为,从不定积分的定义, 可得下述关系式:,例4 求经过点 (1, 3), 且其切线的斜率为 2x 的曲线方程.,解 由于,得曲线族 y = x 2 + C.,将 x = 1, y = 3 代入, 得 C = 2, 所以所求曲线为,y = x 2 + 2 .,二、基本积分表,(k为常数);,利用逆向思维,以上13个基本积分公式是求不
5、定积分的基础,必须熟记.,例5 求,例6 求,三、不定积分的性质,性质1 设函数 f (x)及 g (x) 的原函数均存在, 则,性质2 设函数 f (x) 的原函数存在, k为非零常数, 则,推论: 若,则,直接积分法:,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式等,利用恒等变形,积分性质及基本积分公式进行积分 .,例7 求,注意：检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看 其导数是否等于被积函数.,例8 求,例9 求,例10 求,例11 求,例12 求,例13 生产某产品,个单位的总成本,为产量,的函数.已知边际成本函数为,固定成本为10000元,试求总成本,与产量,的函数关系.,解 由边际成本函数,故总成本函数为,由已知固定成本为10000元,即,得,故所求成本函数为,内容小结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表 (见P144),2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,作业,P147 1(单数题); 2 ; 4；,说明：由上述各例可知,对一些简单的积分问题,总是设法将被积函数进行恒等变形，化简后才能使用基本积分表.,解,所求曲线方程为,
