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1、第3章 电阻电路的一般分析方法, 重点：,熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法 回路电流法 结点电压法,3.1 电路的图,求解电路的一般方法：不需要改变电路的结构。 首先，选择一组合适的电路变量（电流和/或电压），根据KCL和KVL及元件的电压电流关系（VCR）建立该组变量的独立方程组，即电路方程，然后从方程中解出电路变量。对于线性电阻电路，电路方程是一组线性代数方程。,学习图论的初步知识，以便研究电路的连接性质并讨论应用图的方法选择电路方程的独立变量。,一图的基本概念,电路的“图”：是指把电路中每一条支路画成抽象的线段形成的一个结点和支路的集合。每条支路的两端都连到相应的结点上。支路用线
2、段描述，结点用点描述。,注意：在图的定义中，结点和支路各自为一个整体，但任意一条支路必须终止在结点上。移去一条支路并不等于同时把它连接的结点也移去，所以允许有孤立结点存在。若移去一个结点，则应当把与该结点连接的全部支路都同时移去。,例:,有向图：赋予支路方向的图。电流、电压取关联参考方向。 无向图：未赋予支路方向的图。,3.2 KCL和KVL的独立方程数,一KCL的独立方程数,列KCL方程：,0=0 ?,对所有结点都列写了KCL方程，而每一条支路与两个结点相联，并且每个支路电流必然从其中一个结点流出，流入另一结点。因此，在所有KCL方程中，每个支路电流必然出现两次，一次为正，一次为负。上述4个
3、方程中任意3个为独立的。,结论: 对于具有n个结点的电路，任意选取(n-1)个结点，可以得出(n-1)个独立的KCL方程。相应的(n-1)个结点称为独立结点。,二KVL独立方程数,路径：从一个图G的某一结点出发，沿着一些支路移动，从而到达另一结点（或回到原出发点），这样的一系列支路构成图G的一条路径。,连通图：当G的任意两个结点之间至少存在一条路径时，G为连通图。,回路：如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其它结点都相异，这条闭合的路径为G的一个回路。,例：,有13个不同的回路，但独立回路数要少于13个。对每个回路列KVL方程，含有非独立方程。,回路1（1，5，8）,回路2（2，6，5）,回
4、路3（1，2，6，8）,利用“树”的概念寻找一个电路的独立回路组。,树：一个连通图G的树T包含G的全部结点和部分支路，而树T本身是连通的且又不包含回路。,例:,树支：树中包含的支路为树支。 连支：其它支路为对应于该树的连支。 树支与连支共同构成图G的全部的支路。,树支数：对于一个具有n个结点的连通图，它的任何一个树的树支数必为（n-1）个。,连支数：对于一个具有n个结点b条支路的连通图，它的任何一个树的连支数必为 (b-n+1)个。,由于连通图G的树支连接所有结点又不形成回路，因此，对于图G的任意一个树，加入一个连支后，形成一个回路，并且此回路除所加的连支外均由树支组成。,单连支回路：由树支和
5、一条连支所形成的回路。 单连支回路也称为基本回路 。,每一个基本回路仅含一个连支，且这一连支并不出现在其他基本回路中。,独立回路数：对于一个结点数为n，支路数为b的连通图，其独立回路数为（b-n+1）。,基本回路组：由全部单连支形成的基本回路构成基本回路组。,基本回路组是独立回路组。根据基本回路列出的KVL方程组是独立方程。,例,图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。,平面图：如果把一个图画在平面上，能使它的各条支路除连接的结点外不再交叉，这样的图为平面图。否则为非平面图。,平面图的全部网孔是一组独立回路，故平面图的网孔数为其独立回路数。,2b法：对一个具有b条支路和n个结点的电
6、路，当以支路电压和支路电流为电路变量列写方程时，总计有2b个未知量。根据KCL可以列出（n-1）个独立方程、根据KVL可以列出（b-n+1）个独立方程，根据元件的VCR又可以列出b个方程。总计方程数2b，与未知数相等。,基本回路(单连支回路),支路数树枝数连支数 结点数1基本回路数,结论,结点、支路和基本回路关系,基本回路具有独占的一条连枝,返回,例,b=3 , n=2 , l=3,变量：I1 , I2 , I3,a: -I1-I2+I3= 0,b: I1+I2-I3= 0,KCL,一个独立方程,KVL,I1R1-I2R2=E1-E2,I2R2+I3R3= E2,I1R1+I3R3= E1,二
7、个独立方程,规律：,KCL: n - 1,3.3 支路电流法 (branch current method ),支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程。,KVL: b - (n - 1),由上式可得KVL方程的另一形式，即任一回路中，电阻电压的代数和等于电源电压的代数和，即：,式中Rkik为回路中第k个支路电阻上的电压，和式遍及回路中的所有支路，且当ik参考方向与回路方向一致时，前面取“+”号；不一致时，取“”号。,右边usk为回路中第k支路的电源电压（也包括电流源引起的电压）。在取代数和时，当usk与回路方向一致时前面取“”号；当usk与回路方向不一致时取“+”号；,列出支路电流法的电
8、路方程的步骤：,注意：电阻电压和电源电压表达式中符号的选取。,（1）选定各支路电流的参考方向；,（2）根据KCL对（n-1）个独立结点列出方程；,（3）选取（b-n+1）个独立回路，指定回路的绕行方向，列出用支路电流表示的KVL方程。,3. 5 回路电流法 (loop current method),基本思想：,以假想的独立回路电流为独立变量。各支路电流可用回路电流线性组合表示。,支路电流可由回路电流求出,电阻压降,电源电压升,绕行方向和回路电流方向取为一致,i1= i l 1,i2= i l 2- i l 1,i3= i l 2,回路电流法：以回路电流为未知变量列写电路方程分析电路的方法。,
9、回路1：R1 il1-R2(il2 - il1)-uS1+uS2=0,回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0,支路电流,i1= i l 1,i2= i l 2- i l 1,i3= i l 2,R11=R1+R2 代表回路1的总电阻（自电阻）,令,R22=R2+R3 代表回路2总电阻（自电阻）,R12= -R2 ， R21= -R2 代表回路1和回路2的公共电阻（互电阻）,uSl1= uS1-uS2 回路1中所有电压源电压升的代数和,uSl2= uS2 回路2中所有电压源电压升的代和,R11 il 1+R12 il 2= uSl1,R21 il1+R22 il2= uS
10、l2,推广到 l 个回路,其中,Rjk: 互电阻,+ : 流过互阻两个回路电流方向相同,- : 流过互阻两个回路电流方向相反,0 : 无关,R11il1+R12il2+ +R1l ill=uSl1,R21il1+R22il2+ +R2l ill=uSl2,Rl1il1+Rl2il2+ +Rll ill=uSll,Rkk: 自电阻(为正) ，k =1 , 2 , , l,网孔电流法：对平面电路，若以网孔为独立回路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称为网孔电流法。,例1,用回路法求各支路电流。,解,(1) 设独立回路电流(顺时针),(2) 列 KVL 方程,(R1+R2)Ia -R2Ib
11、 = US1- US2,-R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2,-R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4,对称阵，且 互电阻为负,(3) 求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic,(4) 求各支路电流： I1=Ia,(5) 校核, I2=Ib-Ia, I3=Ic-Ib, I4=-Ic, 将VCVS看作独立源建立方程；, 找出控制量和回路电流关系。,4Ia-3Ib=2,-3Ia+6Ib-Ic=-3U2,-Ib+3Ic=3U2,例2,用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。,将代入，得,各支路电流为：,I1= Ia=1.19A,* 由于含受控源，方程的系数矩阵
12、一般不对称。, I2= Ia- Ib=0.27A, I3= Ib=0.92A,I4= Ib- Ic=1.43A, I5= Ic=-0.52A,例3,列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。,方法1,(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui,-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2,-R4I2+(R3+R4)I3=-Ui,IS=I1-I3,* 引入电流源的端电压变量,* 增加回路电流和电流源电流的关系方程,方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路, 该回路电流即 IS 。,I1=IS,-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2,R1I
13、1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1,1、选择独立回路（平面电路可选择网孔），标注回路电流的方向。,列写回路电流方程的步骤：,2、按通式写出回路电流方程。,注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端为该回路所有电源电压升的代数和。,3、电路中含有受控源时应按独立源来处理；含有无伴电流源时，可使该电流源仅仅属于一个回路。,(2) 列KCL方程：, iR出= iS入,i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3,un1,un2,(1) 选定参考节点，标明其余n-1个独立节点的电压,节点电压法：以节点电压为未知变量列写电路方程分析电路的方法。,3. 6 结点电压法 (node volt
14、age method),i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3,整理，得,令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5,上式简记为,G11un1+G12un2 = isn1,G21un1+G22un2 = isn2,G11=G1+G2+G3+G4 节点1的自电导，等于接在节点1上所有支路的电导之和,G22=G3+G4+G5 节点2的自电导，等于接在节点2上 所有支路的电导之和,G12= G21 =-(G3+G4) 节点1与节点2之间的互电导，等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号,iSn1=iS1-iS2+iS3 流入节点1的电流源电流的代数和。,iSn2=-
15、iS3 流入节点2的电流源电流的代数和,一般情况,其中,Gii 自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,iSni 流入节点 i 的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij = Gji 互电导，等于接在节点i与节点 j 之间的所支路的电导之和，并冠以负号。,(n个独立节点),若电路中含电压源与电阻串联的支路：,uS1,整理，并记Gk=1/Rk，得,用节点法求各支路电流。,例1,I1=(120-UA)/20k= 4.91mA,I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA,I3=(UB +240)/40k= 5.46mA
16、,I4= UB /40=0.546mA,各支路电流：,解：,I5= UB /20=-1.09mA,(1) 把受控源当作独立源看 , 列方程,(2) 用节点电压表示控制量。,例2 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。,u= un1,解,1,2,试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。,方法1: 设电压源电流变量，列方程,方法2： 选择合适的参考点,(G1+G2)U1-G1U2= - I,-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0,-G4U2+(G4+G5)U3 = I,U1-U3 = US,U1= US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,例3,增加一个节点电压与电压源间的关
