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1、第十章 曲 线 积 分,对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）,一、对弧长的曲线积分的概念,1定义,2物理意义,表示线密度为 的弧段 的质量.,二、对弧长的曲线积分的性质,1线性性质：,若 , 则,5. 奇偶对称性：,2可加性：,3 的弧长：,4. 单调性：,设在上 ， 则,三、对弧长的曲线积分的计算方法,方法：化为定积分计算（注：下限上限）,（1）参数方程：若 则,（2）直角坐标：若 则,（3）极坐标：若 ; 则,“描述代入”法,（4）参数方程：若 则,注： 被积函数可用积分曲线方程化简！,四、对弧长的曲线积分的应用,1几何应用 求曲线的弧长,2物理应用,质量,质心,转动惯量,一、对坐标的曲线积
2、分的概念,1定义,2物理意义,变力 沿 所作的功.,对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）,二、对坐标的曲线积分的性质,若 （方向不变），则,设 是 的反向曲线弧，则,2. 方向性：,1可加性：,3. 奇偶对称性：,三、对坐标的曲线积分的计算方法,（化为定积分计算）,（1）参数方程：,1直接计算法：,设 从 变到 ; 则,设 ; 从 变到 ; 则,“描述代入”法,设 从 变到 ; 则,（2）直角坐标：,设 从 变到 ; 则,注: 下限 起点 上限 终点,3利用积分与路径无关的条件计算法,与路径无关,单连域.,单连域.,2格林（Green）公式计算法,（注意使用条件！）,（这里 为区域 的正向边界曲
3、线),，为区域内任意闭曲线.,四、两类曲线积分之间的联系,其中 为有向曲线弧 在点 处的切向量的方向角.,五、对坐标的曲线积分的解题方法,No,积分与路径无关,封闭,取特殊曲线,转化为定积分,积分与路径有关,封闭,确定D,应用Green公式,对L补上特殊曲线,在封闭曲线 上应用Green公式,转化为 定积分,Yes,No,Yes,No,Yes,解题方法流程图,由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数,及积分曲线 然后判断等式 是否,成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域 内与积分路径,无关. 此时的计算方法是，看积分曲线 是否封闭. 若 为封闭,曲线,则利用积分与路径无关的等价命
4、题，便可知所求积分为零;,若上式不成立，则曲线积分与积分路径有关。此时的计算方,法是，看积分曲线 是否封闭. 若 为封闭曲线, 则直接利用,若 不是封闭曲线, 通常采用取特殊路径的方法（如取平行于,坐标轴的折线 )来计算所给积分，即,Green公式计算所给积分，即,若 不是封闭曲线, 则计算方法一般有两种, 一种是将曲线,再计算 最后将两式相减便得原曲线积分的值,即,积分化为定积分来计算；另一方法是通过补特殊路径 , 使,与 构成封闭曲线，然后在封闭曲线 上应用Green,公式, 即,六、对坐标的曲线积分的物理应用,求变力沿曲线所作的功： .,五、对弧长的曲线积分典型例题,分析 由于本题积分曲
5、线 的方程为参数形式，从计算方法框图上看，我们可采用线路2的方法计算.,解： 由于 而,故,解： 圆周 在极坐标下的方程为,则 故,分析 由于本题积分曲线 的方程可化为 或 的,形式, 故从计算方法框图上看, 我们可采用线路1的方法计算。,但考虑到化为以 为积分变量的定积分计算比较困难, 故本题,解: 由于 所以,积分曲线 应采用 的形式.,分析 由于积分曲线 为闭曲线, 由三段组成,故应根据每段曲线的特点，选择不同的计算方法. 在 与,上可用框图中线路1的方法计算，在 上可用线路3的方,法计算。,解：积分曲线 为闭曲线（如图）,其中,故,可分解为,分析 由于积分曲线 可恒等变形为,而被积函数
6、 中又含有 故可将,代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分,由于 关于 轴对称, 函数 关于 为奇函数, 故有,解：由奇偶对称性可知 所以,注：由于被积函数 定义在曲线 上, 故 满足曲线,的方程。因此，计算第一型曲线积分时应首先需要利用曲线 方程化简被积函数，这是计算曲线积分的一个重要知识点.,【例6】* 求 , 其中,解:,解：所求的转动惯量为 而,故,六、对坐标对曲线积分典型例题,分析 由于 故曲线积分与路径有关. 又因为曲线,不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法：一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方
7、法计算比较简便，这里应首先将积分曲线 的方程改写为,再代入被积函数中计算。,解：由于 所以,分析 本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参数法转化为定积分来计算，这里关键是要正确写出积分曲线的参数方程。考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利用斯托克斯（Stokes）公式将曲线积分转化为曲面积分计算。,解法1：化为定积分计算. 由于,(如图)，这里,所以,从 变到 。,从 变到 。,从 变到 。,从而,解法2：利用斯托克斯公式计算.,设 为平面 上 所围成部分的上侧，,由Stokes公式，得,为 在坐标面 上的投影区域，则,分析 由于 , 故曲线积分与路径有关。,又因 为封闭曲线（
8、如图）。,且 、 在 所围区域上满足 格林公式的条件，故本题可 采用格林公式方法来计算， 即采用框图中线路221的方法。,解: 令 ， . 则,即 由于,故利用格林公式，得,解法1：化为定积分计算。,的参数方程为： , 从 变到 . 则,解法2：利用格林公式计算。,设 由所围区域为 ,则 ; 于是,分析 由例3的分析可知，曲线积分与路径有关，又因积分曲,接计算法，即转化为定积分的方法计算，不难看出沿着路径,的积分，被积函数中含有 和 的项,积分的计算将是非常困难的。因此，本题采用补特殊路径，然后应用Green公式的方法计算本题，即采用框图中线路222计算。,线 不是封闭的，按框图，计算本题有两
9、种方法；但若利用直,解: 补直线段 : , 从 变到 ; 并设曲线,所围区域为 （如图），则由Green公式，得：,又,故,分析 因 , , 则,由于 与 在原点 处不连续, 因此：,（1）若给定的曲线 所围成的闭区域不包括原点 , 则在,此区域内曲线积分与路径无关；（2）若给定的曲线 所围成,的闭区域包括原点 , 那么 、 在 所围成的闭区域上不,满足格林公式（积分与路径无关的条件）。此时，我们可取,Green公式,由此将 上的曲线积分转化为 上的曲线积分.,一条包围点 的特殊的封闭光滑曲线 , 在 上应用,解： 因 , , 则,故 .,（1）若给定的曲线 围成的闭区域不包括原点 . 由,知
10、曲线积分 与路径无关, 故 .,（2）若给定的曲线 所围成的闭区域包括原点 , 则取一条,特殊的有向曲线 ( 充分小), 规定 的方向为,逆时针（如图所示）。,设 所围成的区域为 ,则在 上应用Green 公式，得,所以 . 而,故,或利用参数方程计算：令 : , , 从 到 .,所以,解：记 , . 则由于 ,则所给积分与路径无关。现取 , 从 变到 ;,则有,【例8】设位于点 的质点 对质点 的引力大小为,（ 为常数, 为质点 对质点 之间的距离), 质点,沿曲线自 运动到 .求在此运动过程,分析 设质点 对质点 的引力 .,因此，问题的关键是写出引力 的表达式.,中质点 对质点 的引力所作的功.,则所求的功为,解： 作图如右图所示，可知,引力 的方向与 一致,故 , 于是,分析 由于场力沿路径所作的功为 ,所以证明场力所作的功与所取的路径无关的问题，实质上就是证明上述曲线积分与路径无关的问题。,证明：场力沿路径所作的功为 ,令 , ; 则,由于右半平面为单连通区域，且 , 所以场力所作的功,与所取的路径无关。,
