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1、考 什 么,怎 么 考,1.了解函数单调性和导数的关 系；能利用导数研究函数的单 调性，会求函数的单调区间(其 中多项 函数一般不超过三次) 2.了解函数在某点取得极值的必 要条件和充分条件；会用导数 求函数的极大值、极小值(其中 多项式函数一般不超过三次).,1.利用导数研究函数的单调区间、极值或最值，如2009年高考T3. 2.利用导数求函数的极值，或最值，如2010年高考T14,2011年高考T12. 3.已知函数的极值或最值求参数，如2008年高考T14.,备考方向要明了,归纳 知识整合,1函数的单调性与导数,探究 1.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定 有f(x)0吗？f
2、(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0， f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件 2函数的极值与导数 (1)函数的极小值： 若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值 ，且f(a)0，而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值,都小,f(x)0,f(x)0,(2)函数的极大值： 若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值 ，且f(b)0，而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，则b点叫做函数的极大值点，f(
3、b)叫做函数的极大值， 和 统称为极值 探究 2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？导数为零是函数在该点取得极值的什么条件？ 提示：不一定可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)x3，在x0处，有f(0)0，但x0不是函数f(x)x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件,都大,f(x)0,f(x)0,极大值,极小值,3函数的最值与导数 (1)函数f(x)在a，b上有最值的条件： 一般地，如果在区间a，b上，函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值 (2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤为： 求函数yf(x)在
4、(a，b)内的 ； 将函数yf(x)的各极值与 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,极值,端点处,探究 3.函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？ 提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值,自测 牛刀小试,1(教材习题改编)函数f(x)exx的单
5、调递增区间是 _ 解析：f(x)exx，f(x)ex1， 由f(x)0，得ex10，即x0. 答案：(0，),3已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所 示，则f(x)的图象可能是_,解析：当x0时，由导函数f(x)ax2bxc的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增 答案：,4(教材习题改编)函数f(x)x33x22在区间1,1上 的最大值是_ 解析：由题意，得f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2(舍去)由于f(1)2，f(1)0，f(0)2，故f(x)在1,1上的最大值为2. 答案：2,5若函数f(x)x3x2mx1是R
6、上的单调增函数，则m 的取值范围是_,运用导数解决函数的单调性问题,1导数法求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间 2导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤： (1)求f(x)；,(2)确认f(x)在(a，b)内的符号； (3)作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数. 3利用单调性求参数取值范围的方法 已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)，转化为不等式恒成立求解,1
7、已知函数f(x)x3ax1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围 (2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由,解：(1)由已知f(x)3x2a. f(x)在(，)上是增函数， f(x)3x2a0在(，)上恒成立， 即a3x2对xR恒成立 3x20，只要a0.,又a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数 a0. (2)f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立 a3x2，x(1,1)恒成立 又1x1， 3x23，只需a3. 当a3时，f(x)3(x21)在x(1,1)上， f(x)0，即f(x)在(1,1)
8、上为减函数 故存在实数a3，使f(x)在(1,1)上单调递减.,利用导数解决函数的极值问题,求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求导数f(x)； (2)求方程f(x)0的根； (3)检验f(x)在方程f(x)0的根的附近两侧的符号：具体如下表：,令g(x)0，即(3x29x)ex0，得x0或x3， 当x(，0)时，g(x)0， 故g(x)在(0,3)上单调递增 当x(3，)时，g(x)0， 故g(x)在(3，)上单调递减 从而函数g(x)在x0处取得极小值g(0)3， 在x3处取得极大值g(3)15e3.,利用导数解决函数的最值问题,例3 已知函数f(x)(xk)ex. (1)求f(x)的单
9、调区间； (2)求f(x)在区间0,1上的最小值,自主解答 (1)f(x)(xk1)ex. 令f(x)0，得xk1. f(x)与f(x)的情况如下：,所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，) (2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k； 当0k11，即1k2时， 由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1； 当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.,保持本例条件不变
10、，求f(x)在0,1上的最大值,利用导数求最值的方法 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得，也可利用函数的单调性求得,3(2012江西高考)已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上 单调递减且满足f(0)1，f(1)0. (1)求a的取值范围； (2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值,解：(1)由f(0)1，f(1)0得c1，ab1， 则f(x)ax2(a1)x1ex， f(x)ax2(a
11、1)xaex. 依题意须对于任意x(0,1)，有f(x)0.；,当a0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a0，f(x)不符合条件 故a的取值范围为0a1.,(1)根据极值的定义，导数为0的点只是一个可疑点，不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数也不一定为0，还要考查函数在该点处的导数是否存在 (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.,答题模板函数的单调性、极值、最值问题,典例 (2012北京高考)(本小题满分13分)已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx. (1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值,快速规范审题,第(1)问,2审结论，明确解题方向,3建联系，找解题突破口,第(2)问,3建联系，找解题突破口,准确规范答题,答题模板速成,用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答,2设x1与x2是函数f(x)alnxbx2x的两个极值点 (1)试确定常数a和b的值； (2)试判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由,
