测量误差的基本知识-1

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1、第五章 误差基本知识,学习本章的意义 ：使同学们掌握怎样把误差的基本知识应用到实际工程。 内容主要有 ：误差概述、偶然误差的性质、衡量精度的标准、误差转播定律、观测值及算术平均值中误差、非等精度观测。 教学要求 ： （1）掌握误差的分类及性质、衡量精度的标准、误差转播定律、怎样求观测值及算术平均值中误差。 （2）了解非等精度观测。,第五章 误差基本知识,重点 误差的分类及特点 中误差 误差传播定理 算术平均值的中误差,难点 误差传播定理 非等精度观测,5.1 测量误差概述,1.什么叫误差？ 误差观测值真值 iliX 2.研究误差的目的 怎样提高精度？ 怎样去满足精度进行施测？ 3.误差产生的原

2、因 仪器、设备构造不完善 观 测 者眼睛的分辨率60 外 界 条 件气温、大气折光、风力等影响,4.误差的分类 观测成果的精确程度简称为精度，观测精度取决于观测时所处的条件。依据观测条件来区分观测值，可分为： 同等精度：观测条件相同的各次观测 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测 在相同观测条件下测量误差可分为：,过失误差（粗差）：观测者错误引起 问题（1）：甲建筑公司在郑州大学行政楼施工中进行变形观测，一次用DS3仪器测量A点的沉降量为1.3mm，请问这次测量结果是不是过失误差？,系统误差：误差的大小符号按一定的规律变化 产生的原因：外界条件、仪器设备、观测方法、计算手段 消除、减弱系统误

3、差方法： 检校仪器 求改正数 对称观测,偶然误差：误差的大小、符号无一定的规律变化，但符合某一统计规律 产生的原因：人的感觉器官、仪器的性能 处理方法：进行多余观测 有了多余观测，可以发现观测值中的错误，以便将其剔除和重测。 有了多余观测，观测值之间必然产生矛盾（往返差、不符值或闭合差等），差值如果大到一定的程度，就认为观测值中有错误，或者说误差超限，需要返工重测。 差值如果不超限，则按偶然误差的规律加以处理，称为“闭合差的调整”,问题（2）判断下列误差各属于哪些误差： 数据记错、尺子颠倒、温度改正、尺长改正、大气折光误差、 视准误差、度盘偏心误差、竖轴误差、尺子零点误差、对中误差、照准误差、

4、估读误差,5.偶然误差的特性,现重复观测了多个三角形内角和，得到真误差 iLi180，统计见表5-1，从这个列表中，我们可以看出偶然误差的几个特性： 有界性 密集性 对称性； 抵偿性,6.偶然误差的分布曲线,误差分布曲线一条正态分布曲线，可用正态分布概率密度函数表示：,5.2衡量精度的标准,一、精度的含义 所谓精度，是指误差分布的集中与离散程度。如误差分布集中（曲线a），则观测精度高；若误差分布离散（曲线b），则观测精度就低。,二、平均误差,/n 越小，精度越高 三、中误差 m越小，精度越高 例1、设甲乙两组观测，真误差为： 甲：4，3 ，0 ，2 ，4 乙：6，1 ，0 ，1 ，5 试比较两

5、组的精度。,1、平均误差： 甲乙2.6 甲组的离散区间（4，4） 乙组的离散区间（5，6） 所以甲组精度高。 2、中误差： 所以甲组精度高 关于中误差要注意两点 中误差（m）与真误差（ ）不同，它只是表示某一组观测值的精度指标，并不等于任何观测值的真误差。若为等精度观测，那么组中每个观测值的精度皆为m。 中误差的概率含义是：对任一观测值li的真误差i，落在区间m，+m的概率是0.68。,四、相对误差,例2、假设现在丈量了两段距离： 甲：1000.01米；乙： 2000.01米 到底那组的精度高些呢？ 如果从中误差来看，两组的精度相等，但这样显然不合理。因为实际上距离测量的误差与长度相关，距离越

6、大，误差的累积就越大,这就需要引入相对误差： K= m/D （注意化为分子为1的形式） K甲1/10000,K乙1/20000, 甲组精度高。 例3、12835183.8 ； 2 30815123.2，那组的精度高？,五、极限误差,P-mm0.683 P-2m2m0.954 P-3m3m0.997 我们可以看到，对于真误差来说，它的值落在区间3m，3m几乎是肯定的事。因此在测量工作中，我们常常取三倍中误差作为偶然误差的容许值（或限差），如果精度要求较高时，就可以取两倍中误差作为限差，即： 容士 2|m| 或 容士3|m |,5.3 误差传播定律,误差传播定律：是指描述观测值中误差与其函数中误差

7、之间关系的定律 一、一般函数的中误差 设Z=f(x1,x2,xn)，其中x1,x2,xn属于独立自变量（如直接观测值），他们的中误差分别为m1,m2,mn则函数Z的中误差为 ：,二、特殊函数的中误差,1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx 2、和差函数 ：Z=x1x2xn 中误差： 3、线形函数 ： Z=k1x1k2x2knxn 中误差：,例4：在ABC中，测量得a137.2850.012m A=56 351838, B=38303226 求b及其中误差？ 解：b=asin B/sin A =137.285sin 383032/sin56 3518102.402 dbb/a dab ct

8、an B (d B/) b ctan A （d A /） =206265 mb（ b/a）ma（ b ctan B ）（mB/ ) （ b ctan A ） （mA/ ) 0.0000498 mb0.022，则b102.402 0.022m,例5：在O点观测了3个方向，测得方向值l1、l2、l3，设各方向的中误差均为m，求m、 m和m 。 l2l1， l3l2， ， （错误计算：因为和并非独立的观测值，因为它们都用到了方向值l2）正确计算应为： l3l1， 从这道题应该注意到中误差传播定律的前提是x1、x2xn为相互独立的观测值。,l1,l2,l3,小结,正确列出函数式； 检查观测值是否独立；

9、 求偏微分并代入观测值确定系数； 套用公式求出中误差。 思考题：一个边长为l的正方形，若测量一边中误差为ml1cm，求周长的中误差？若四边都测量，且测量精度相同，均为ml，则周长中误差是多少？,5.4等精度直接观测值,1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得观测值l1，l2，ln 算术平均值为 ：L=(l1+l2+ln )/n=l/n 算术平均值原理:当n时，L=X 证明：iliX, =l nX， /n=l/n X，根据偶然误差第4特性即证 算术平均值是观测量的“最可靠值”，或者叫做“最或是值”。,2、或然误差,或然误差：viliL 或然误差特性： v=0 3、由或然误

10、差求中误差： （白塞尔公式） 例：见教材中的例子 4、算术平均值中误差 ： 从这个公式可以看出，要使算术平均值中误差变小，可以通过两个方面来实现：一是增加观测次数n，但观测次数也不可能无限多，而且增加到一定次数后对算术平均值中误差 的影响不明显，所以一般n取24；二是减小每次观测时的中误差m，也就是要改善观测条件，例如用精度更高的仪器，提高观测者的技能、责任心，在气象条件好的环境下观测。,5.5误差传播定律的应用,一、水准测量的误差分析 每站的高差为：h = a - b ；m读 3mm 一站的高差中误差：m站 = 4mm 线路n站，则总高差： 取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误差为 ：

11、,二、水平角观测的误差分析,用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘左盘右观测同一方向的中误差为6 ， 所以瞄准一个方向的中误差为： 上半测回角值：半ba 半测回角值差： 半测回差取2m 34 ，考虑到其它不利因素 ，所以取半测回差应该小于40 。 一测回角值： （ 上 下 ）/2 一测回角值精度m = 8.5 ,测回角值之差：= 1- 2，m =12 测回差取2m= 24 ,规范测回差限差24 例：为了让某一角度的精度达到4 ,问用DJ6经纬仪需要测几个测回？ 解： n（8.5/4）4.5 所以需要测5个测回 假定精度达到1.7 ,用DJ6经纬仪测几个测回？如果用DJ2经纬仪需要测几个测

12、回？ DJ6: n（8.5/1.7）25测回 DJ2: n（2.82/1.7）2.8,即3测回,5.6加权平均值及其中误差,例：假设对一个水平角进行了两组等精度的观测，其中甲组观测了2测回，测得水平角分别为l1、l2，计算得平均L1=( l1+l2 )/2；乙组观测了4测回，测得水平角分别为l3、l4、 l5、l6,计算得平均L2=( l3+l4+ l5+l6 )/4。那么这个水平角应怎样计算？ L=(L1+L2)/2 L=(l1+l2+l3+l4+l5+l6)/6=(2L1+4L2)/(2+4),一、非等精度观测及观测值的权,上例中：甲组观测值的算术平均值精度： 而乙组观测值的算术平均值精度

13、为： m2m1，也就是L2的精度比L1要高。如果要将L1、L2进行平均，应该是精度高的数值所占的“比重”大一些，精度低的数值所占的“比重”应该小一些，这个“比重”就是通常我们所说的“权”。 1、权的定义 权：观测值精度的可靠程度。 “权”与中误差成反比，观测值或观测值函数的精度越高，其权越大 。 Pi=/mi （ 是常数）,2、单位权 在Pi=/mi中，当Pi=1，Pi为单位权 Pi=1时相应的观测值，称单位权观测值; Pi=1时，mi ，当权为1时， 常数等于观测值的中误差，所以称为单位权中误差（用m0表示） 3、定权的常用方法 等精度观测值算术平均值的权 ：m（观测值中误差）， ，则Pnn 水准测量的权：水准路线的权与路线长度成反比，即PiK/Li,二、加权平均值及其中误差,1.加权平均值 例：L=(2L1+4L2)/(2+4) 2.单位权中误差（m0） 3、加权平均值的中误差（M0） M0 例：如图，已知L14Km， L22.5Km，L38.5Km,HA78.324m，h1-7.980m； HB64.347m， h25.992m； HC24.836m，h345.516m 求P点的高程平均值及其中误差 ？ 加权平均值: HP= PL/P=70.343m 单位权中误差：m0= = 9mm 加权平均值的中误差： M0 = = 3.2mm,