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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）第 I 卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2、本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1 ）已知全集 ，集合 ，集合 ，则1,234,678U2,356A1,3467B集合 AB（A） （B ） （ C） （D） 2,5,5,8【答案】A【解析】试题分析： ,所以 ，故选 A.258UB2,5UAB考点：集合运算.（2 ）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为,x
2、y032xy6zxy（A）3 （B）4 （C ）18 （D ）40【答案】C 864224681510551015AB考点：线性规划.（3 ）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（A） （B ）6（C）14（D）1810【答案】B【解析】试题分析：模拟法：输入 ；20,1Si不成立；8,25i不成立4,14成立26,iS输出 ,故选 B.6考点：程序框图.（4 ）设 ，则“ ”是“ ”的xR21x20x（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C ）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A考点：充分条件与必要条件.（5 ）如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦 分别经
3、过点 .若O,MNAB,CDE,MN，则线段 的长为2,4,3CMDE（A） （B ）3 （C） （D） 81052EDOABMNC【答案】A【解析】试题分析：由相交弦定理可知， ，又因为,AMBCDNEAB是弦 的三等分点，所以 ，所以,MNAB CMD，故选 A.2483CDE考点：相交弦定理.（6 ）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦210,xyab2,3点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为247（A） （B ） （C） （D）218xy218xy2134xy213xy【答案】D考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.（7 ）已知定义在 上的
4、函数 （ 为实数）为偶函数，记R21xmf，则 的大小关系为0.52(log3),log5,afbfc,abc（A） （B ） （C） （D） caba【答案】C【解析】试题分析：因为函数 为偶函数，所以 ，即 ，所以21xmf0m21xf22loglog330.52(log3)l 1,aff2log5 02l14,()bf cff所以 ，故选 C.ca考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.（8 ）已知函数 函数 ，其中 ，若函2,xf2gxbfxbR数 恰有 4 个零点，则 的取值范围是yfxgb（A） （B ） （C ） （D ）7,47,70,4,2【答案】D【解析】试题分析：
5、由 得 ，2,xf2,0(),xfx所以 ，22,0()4(),yfxxx即22,0(),58,2yfxx,所以 恰有 4 个零点等价于方程()()fgfbyfxg有 4 个不同的解，即函数 与函数 的图象20xbb()2)yfx的 4 个公共点，由图象可知 .728642246815105 51015考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.第 II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共 12 小题，共计 110 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.（9 ） 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为 .i12ia
6、a【答案】 2【解析】试题分析： 是纯度数，所以 ，即 .121iaai20a2a考点：1.复数相关定义；2.复数运算.（10 ）一个几何体的三视图如图所示（单位： ） ，则该几何体的体积为 . m3m【答案】 83【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为 ，高为 的圆柱，两端是底12面半径为 ，高为 的圆锥，所以该几何体的体积 .1 2 8133V考点：1.三视图；2.旋转体体积.（11 ）曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .2yxyx【答案】 16【解析】试题分析：两曲线的交点坐标为 ，所以它们所围成的封闭图形的面积(0,)1.12230 016Sxdx考点：定
7、积分几何意义.（12 ）在 的展开式中， 的系数为 .64x2x【答案】 15考点：二项式定理及二项展开式的通项.（13 ）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ABC,ABC,abcABC315， 则 的值为 .12,cos4ba【答案】 8【解析】试题分析：因为 ，所以 ，0A215sin1cos4A又 ，解方程组 得 ，由115sin3,28ABCSbcbc2bc6,4c余弦定理得，所以 .2221cos6464abA8a考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理 .（14 ）在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 BCD/,2,60BCABACEF分别在线段 和
8、上,且, 则 的最小值为 .19EFDEF【答案】 2918【解析】试题分析：因为 ，1,9DFC12AB，98CD ，AEBA，191FFBCABBC 229 19888ABC 19142cos108277928当且仅当 即 时 的最小值为 .21923AEF2918BADCEF考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本小题满分 13 分）已知函数 ，22sini6fxxR(I)求 最小正周期；()fx(II)求 在区间 上的最大值和最小值 .,34p-【答案】(I) ; (II
9、) , .max()fmin1()2f考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.16. （本小题满分 13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛.(I)设 A 为事件 “选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生的概率；(II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 .【答案】(I) ; 63
10、5(II) 随机变量 的分布列为 X1234P47152EX【解析】试题分析：(I)由古典概型计算公式直接计算即可； (II)先写出随机变量 的所有可能值，求X出其相应的概率，即可求概率分布列及期望.试题解析：(I)由已知，有 2233486()5CPA所以事件 发生的概率为 .65(II)随机变量 的所有可能取值为X1,234548(1,234)kCP所以随机变量 的分布列为 XP143714所以随机变量 的数学期望X522E考点：1.古典概型；2.互斥事件；3.离散型随机变量的分布列与数学期望.17. （本小题满分 13 分）如图，在四棱柱 中，侧棱 ,1ABCD-1ABCD底 面, ,A
11、BC1=,且点 M 和 N 分别为 的中点.25D1和(I)求证： ；MNABCD平 面(II)求二面角 的正弦值；11-(III)设 E 为棱 上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线段 的131EA长【答案】(I)见解析； (II) ； (III) .31072【解析】试题分析：以 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线 的方向向量与平面 的法AMNABCD向量，两个向量的乘积等于 即可；(II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角0的余弦值的大小，再求正弦值即可；(III) 设 ，代入线面角公式计算可解出11AEB的值，即可求出 的长.1AE试题解析：如
12、图，以 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，(0,)(,0)(2,)(,0)ABCD，又因为 分别为 和 的中点，得111122,MN1BCD.,(,)MN(I)证明：依题意，可得 为平面 的一个法向量， ，(0,1)nABCD50,2MN由此可得， ，又因为直线 平面 ，所以 平面MNMN/ABCD(II) ，设 为平面 的法向量，则1(,2)(,0)ADC1(,)nxyz1，即 ，不妨设 ，可得 ，10n2xyz1(0,)n设 为平面 的一个法向量，则 ，又 ，得2(,)yz1AB21ABC1(,2)，不妨设 ，可得0x2(0,)n因此有 ，于是 ，1212cos,n1230si,n所以
13、二面角 的正弦值为 .11DACB30(III)依题意，可设 ，其中 ，则 ，从而 ，11E,1(0,2)E(1,2)NE又 为平面 的一个法向量，由已知得0,n，整理得 ，22cos, 3(1)1Nn 2430又因为 ，解得 ，0,17 所以线段 的长为 .1AE72考点：1.直线和平面平行和垂直的判定与性质；2.二面角、直线与平面所成的角；3.空间向量的应用.18. （本小题满分 13 分）已知数列 满足na，且*2 12(q)nN,naa为 实 数 ， 且 ，成等差数列.345,a+(I)求 q 的值和 的通项公式；n(II)设 ，求数列 的前 n 项和.*21log,nbNa b【答案
14、】(I) ; (II) .2,.n为 奇 数 ,为 偶 数 124nnS【解析】试题分析：(I)由 得 先求出 ，()()34234534aaa+-=+-253aq分 为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列 的通项公式，用错位相减法求和即可.nnb试题解析：(I) 由已知，有 ，即 ，()34234534-+4253a所以 ，又因为 ，故 ，由 ，得 ，23(1)()aq1q32a31aq当 时， ，*nkN121nkna当 时， ，()k所以 的通项公式为na12,.na为 奇 数 ,为 偶 数考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前 项和公式.3.错位相减法.n19. （本小题满分 14 分）已知椭圆 的左
