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1,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,2,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变量方程:,通解,3,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .,化为,4,方法 1 这是一个齐次方程 .,方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程 .,5,例2. 求下列方程的通解:,提示: (1),令 u = x y , 得,(2) 将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,6,令 y = u t,(齐次方程),令 t = x 1 , 则,可分离变量方程求解,化方程为,7,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解:,8,例3.,设 F(x)f (x) g(x), 其中函数 f (x), g(x) 在(,+),内满足以下条件:,(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;,(2) 求出F(x) 的表达式 .,解: (1),所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:,9,(2) 由一阶线性微分方程解的公式得,于是,
