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1、 学而思奥数网奥数专题 (行程问题)今天早上看到一题猎犬追兔子的题,用以前常用的比例法去秒杀,怎么也杀不出答案,后来仔细研究了一下,发现这题跟平常在做的题有一些区别,写出来大家一起看一下猎犬发现在离它 10 米远的前方有一只奔跑着的野兔,马上紧追上去,猎犬的步子大,它跑 5 步的路程,兔子要跑 9 步,但是兔子的动作快,猎犬跑 2 步的时间,兔子却要跑 3步。猎犬至少跑多少米才能追上兔子?-这是常见的那题方法一:设猎犬跑 5 步的路程(兔子 9 步)为 1 米,猎犬跑 2 步的时间(兔子 3 步)的时间为 1 秒S 犬=1/5(米/步),S 兔=1/9(米/步)T 犬=1/2(秒/步),T 兔
2、=1/3(秒/步)V 犬=2/5(米/秒),V 兔=1/3(米/秒)句子与猎犬的速度差为 2/5-1/3=1/15 米追上要用时间 10/(/15)=150 秒狗跑 S=T*V=150*2/5=60 米方法二:步长比:9:5频率比:2:3速度比:18:15 (注意这里比出来是以米作为单位的,具体可以参考方法一)18:15=6:5=60:50猎人带着猎犬去打猎,发现兔子的瞬间(此时猎人、猎犬、兔子位于同一点上),猎人迟疑了一下才发出了让猎犬追捕的命令,这时兔子已经跑出了 6 步。已知猎犬的步子大 ,它跑 5 步的路程,兔子要跑 9 步;但兔子动作快,猎犬跑 2 步的时间,兔子能跑 3 步。那么猎
3、犬跑多少步才能追上兔子?A. 25 B. 54 C. 49 D. 20-这是我早上碰到的那题,区别就是把米改成了步方法一:设猎犬跑 5 步的路程(兔子 9 步)为 1 米,猎犬跑 2 步的时间(兔子 3 步)的时间为 1 秒S 犬=1/5(米/步),S 兔=1/9(米/步)T 犬=1/2(秒/步),T 兔=1/3(秒/步)V 犬=2/5(米/秒),V 兔=1/3(米/秒)兔子跑 6 步跑动的距离:s=6*(1/9)=2/3(米)猎犬要追上这段距离需要用时:t=s/(V 犬-V 兔)=10(秒)10 秒钟猎犬跑的步数为:10*2=20(步)猎人带着猎犬去打猎,发现兔子的瞬间(此时猎人、猎犬、兔子
4、位于同一点上),猎人迟疑了一下才发出了让猎犬追捕的命令,这时兔子已经跑出了 6 步。已知猎犬的步子大,它跑 5 步的路程,兔子要跑 9 步;但兔子动作快,猎犬跑 2 步的时间,兔子能跑 3 步。那么猎犬跑多少步才能追上兔子?方法二:也可以用比例来做步长比:9:5频率比:2:3速度比:18:15 (注意这里比出来是以米作为单位的,具体可以参考方法一)接下去,要把步换作米 兔子跑 6 步跑动的距离:s=6*(1/9)=2/3(米) 换成 2/3 后,就跟第一题的方法一样了18:15=6:5=12/3:10/3=4:10/3狗要跑 4 米才能追上,而 S 犬=1/5(米/步)所以狗要跑 4/(1/5
5、)=20 步掌握了这两题,以后这种类型的题就可以秒杀了。1,一只猎狗正在追赶前方 20 米处的兔子,已知狗一跳前进 3 米,兔子一跳前进 2.1 米,狗跳 3 次的时间兔子可以跳 4 次,问:兔子跑出多远将被猎狗追上?2,猎狗前面 26 步远有一只野兔,猎狗追之,兔跑 8 步的时间狗跑 5 步,兔跑 9 步的距离等于狗跑 4 步的距离,问:兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少米?3,野兔逃出 80 步后猎狗才开始追,野兔跑 7 步的路程猎狗只需跑 3 步,野兔跑 9 步的时间猎狗只能跑 5 步,问:猎狗至少跑多少步才能追上野兔?答案:1.狗跳 3 次的时间兔子可以跳 4 次,设都等于一秒则
6、狗速度为 9 米每秒,兔速度为 8.4 米每秒用时 20/(9-8.4)秒时间追上狗跑了 9*20/(9-8.4)=300 米兔子跑出 300-20=280 米后被狗追上。2.兔跑 8 步的时间狗跑 5 步,设都等于一秒兔跑 9 步的距离等于狗跑 4 步的距离设兔子一步 4 米,狗一步 9 米则狗速度为 45 米每秒,兔速度为 32 米每秒距离为 26*9=234 米 时间为 234/(45-32)=18 秒兔子一秒跑 8 步,总共跑了 8*18=144 步狗一秒跑 45 米,总共跑了 45*18=810 米3.野兔跑 9 步的时间猎狗只能跑 5 步,设都等于一秒野兔跑 7 步的路程猎狗只需跑
7、 3 步设兔子一步 3 米,狗一步 7 米则狗速度为 35 米每秒,兔速度为 27 米每秒距离为 80*3=240 米追上的时间为 240/(35-27)=30 秒狗一秒跑 5 步,所以总共跑 5*30=150 步猎狗追兔问题是行程问题中比较典型的一类题,该类问题除考察追及问题的基本公式外,还要综合运用比例、份数等手段解决。解题思想是将两种动物单位化为统一,然后用路程差除以速度差得到追及时间,或者由速度比得出路程比,再引入份数思想,进而解决问题。以下题为例:【例 1】一猎狗正在追赶前方 20 米远兔子,已知狗一跳前进 3 米,而兔子一跳前进 2.1米,但狗跳 3 次的时间兔子可以跳 4 次,问
8、猎狗跑多少米能追上兔子?【李老师分析】狗跳 3 次的时间兔子可以跳 4 次,设都等于一秒则狗速度为 9 米/秒,兔速度为 8.4 米/秒,狗和兔子的速度都得以确定,接下来将是一个非常简单的追及问题,路程差为 20 米,可列式子 20(98.4)=100/3(秒)能够追上兔子。用时 20/(9-8.4)秒时间追上,即 狗跑了 9100/3=300 米从以上例题我们可以看出,解决此类问题的关键在于:根据时间相同,将其设为单位时间(1 秒),问题简单解决。 我们再看下一道题:【例 2】 猎狗前面 26 步远有一只野兔,猎狗追之,兔跑 8 步的时间狗跑 5 步,兔跑 9 步的距离等于狗跑 4 步的距离
9、,问:兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少米?【李老师分析】兔 8 步的时间狗跑 5 步,设都为 1 秒(一次设数)再根据兔跑 9 步的距离等于狗跑 4 步的距离设兔子一步 4 米,狗一步 9 米(二次设数)从而得出 狗速度为 45 米/秒,兔速度为 32 米/秒进而狗兔相距 269=234 米,追及时间为 234(45-32)=18(秒)兔子一秒跑 8 步,总共跑了 918=144 步狗一秒跑 45 米,总共跑了 4518=810 米此题不同于第一道题的地方在于并未直接告诉我们狗与兔的步长,而给出两者步长的关系,解决问题时可再一次设数,将狗与兔的数据调换,作为其步长,问题转化同例 1.根
10、据以上两道例题,李老师做以下总结,称之为“两次设数法”:猎狗追兔问题“两次设数法”:设单位时间,得出每秒几步;设步长,从而得出各自速度;之后运用追及基本公式解决。但要注意开始时的距离是步长还是米,以及最终所问的是米还是狗步或兔步。记住以上方法,猎狗追 兔问题轻松解决。【练习】猎狗发现离它 110 米处有一只奔跑的兔子,马上紧追上去,猎狗跑 5 步的距离兔子要跑 9 步,猎狗跑 2 步的时间兔子要跑 3 步,问猎狗跑多远才能追上兔子?1. 四年级猎狗追兔问题:难度:中难度 2. 四年级猎狗追兔问题:难度:中难度学而思奥数网奥数专题(行程问题)1、四年级猎狗追兔问题:解析:因为猎狗跑 5 步的路程
11、兔子要跑 9 步 所以猎狗和兔子步长比为 9:5 又猎狗跑 2 步的时间兔子能跑 3 步 猎狗和兔子速度比为 18: 15=6:5 所以 20(6-5)=20 米 206=120 米 猎狗要跑出 120 米才能追上兔子2、四年级猎狗追兔问题:解析:猎狗跑 12 步的路程兔子要跑 21 步,猎狗跑 12 步的时间兔子要跑 16 步,在猎狗跑 12 步这个单位时间内,两者的速度差为兔子的 5 步,所以猎狗追击距离为:30521=126(米).1、四年级行程问题:猎狗追兔难度:中难度森林中,猎狗发现前方 20 米处有一只奔跑的野兔,立即追赶上去,猎狗步子大,它跑 5 步的路程,兔子要跑 9 步;但兔
12、子动作快,猎狗跑 2 步的时间,兔子却能跑 3 步。猎狗跑出多远才能追上兔子? 猎狗追赶前方 30 米处的野兔 .猎狗步子大,它跑 4 步的路程兔子要跑 7 步,但是兔子动作快,猎狗跑 3 步的时间兔子能跑 4 步。狗至少跑出多远才能追上野兔? 学而思旗下网站:奥数网 家教网:2、四年级行程问题:猎狗追兔难度:中难度学而思奥数网奥数专题(猎狗追兔)1、 四年级行程问题:猎狗追兔:【解析】 “猎狗前面 26 步” ,显然指的是猎狗的 26 步,兔跑 8 步的时间狗跑 5 步,兔跑 9 步的距离等于狗跑 4 步的距离,可以统一为兔子跑 72 步的时间狗跑 45 步,兔子跑 72 步的距离狗跑 3
13、2 步距离,所以在兔子跑 72 步的时间里,狗比兔子多跑了 45-32=13(步)的路程,这个 13 步是猎狗的 13 步,因此,要追上距离 26(狗)步的距离,兔子跑了72(2613)=144(步) ,此时猎狗跑了 5(1448)=90(步)【答案】兔子 144 步,猎狗 90 步。2、四年级行程问题:猎狗追兔:【解析】设狗跑 2 步的时间为 1(分钟) ,兔跑 3 步的时间也为 1(分钟);再设狗的步长为7(米) ,则兔的步 长为 4(米),推出狗的速度是 27=14,兔的速度是 34=12。用 40(1412)=20,20 为追击时间 。再用兔的速度乘上追击时间可得兔跑的路程,即 122
14、0=240(米)【答案】240 米猎狗追赶前方 30 米处的野兔。猎狗步子大,它跑 4 步的路程兔子要跑 7 步,但是兔子动作快,猎狗跑 3 步的时间兔子能跑 4 步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔?分析与解:这道题条件比较隐蔽,时间、速度都不明显。为了弄清兔子与猎狗的速度的关系,我们将条件都变换到猎狗跑 12 步的情形(想想为什么这样变换):(1)猎狗跑 12 步的路程等于兔子跑 21 步的路程;(2)猎狗跑 12 步的时间等于兔子跑 16 步的时间。由此知,在猎狗跑 12 步的这段时间里,猎狗能跑 12 步,相当于兔子跑猎狗前面 26 步远有一只野兔,猎狗追之. 兔跑 8 步的时间狗跑 5
15、步,兔跑 9 步的距离等于狗跑 4 步的距离.问:兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步?猎人带猎狗去捕猎,发现兔子刚跑出 40 米,猎狗去追兔子。已知猎狗跑 2 步的时间兔子跑 3 步,猎狗跑 4 步的距离与兔子跑 7 步的距离相等,求兔子再跑多远,猎狗可以追上它?学而思旗下网站:奥数网 家教网:也就是说,猎狗每跑 21 米,兔子跑 16 米,猎狗要追上兔子 30 米需跑 2130(21-16)=126(米)。1/一条猎狗追 30 米外的一只狐狸,狗跳跃一次为 2 米,狐狸跳跃一次为 1 米,而狐狸跳 3次的时间,猎狗只能跳两次,猎狗跑多少米才能追上狐狸?分析:狐狸跳 3 次的时间,猎狗只能跳两次,也就是狐狸前进 133 米,猎狗可以前进 224 米,由于 431,所以猎狗每跑 4 米就追上狐狸 1 米,于是猎狗