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1、实验四,数学家的生日蛋糕, 积分,一、引例：数学家的生日蛋糕,某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型，学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数 r = 2-(exp(2h)+exp(-2h)/5, 0h1 (单位：米) 。蛋糕的成本取决于蛋糕的重量和表面积（底面除外），问如何计算重量和表面积？,解 设高为H，半径 r, 比重为k 若蛋糕是单层圆盘的，则蛋糕的重量和表面积分别为： W=kHr2 S = 2Hr+r2 若蛋糕是双层的，每层高H/2 ，下层半径r1, 上层半径r2，则 W=kH(r12+ r22)/2 S = H(r1+r
2、2)+r22 如果蛋糕是n层的，每层高H/n，半径分别r1, , rn, 则,r,H,r1,r2,若蛋糕边缘是曲线r = r(h), 0hH，各层半径近似为ri = r(i-1/2)H/n), i=1, , n, 那么 当n，,二、数学理论复习：积分 函数f(x)在区间a,b上的积分定义为,其中 a=x0x1xn=b, xi=xi-xi-1, i(xi-1,xi), i=1,2,n,若在a,b上, F(x)=f(x), 则,二重积分定义为,三、数值积分：梯形法和重积分 1、梯形法,在xi-1,xi上f(x)近似为一直线，用弦线代替，则,设f(x)在a,b上大于0， a=x0x1xn=b, 则,
3、a,xi-1,b,xi,通常将a,b区间n等分，h=(b-a)/n, xi=a+ih,称为梯形公式,2、重积分 重积分的数值计算可通过单积分组合计算,我们利用梯形法，先将a,b区间m等分，hx=(b-a)/m, xi=a+ihx, i=0,1,m,再将c(xi),d(xi)区间n等分, hy(i)=(d(xi)-c(xi)/n, yij=c(xi)+jhy(i), 则,G(xi),A,a,b,d(x),c(x),其中,M文件dblquad2.m给出二重积分数值计算法。 I=dblquad2(f_name,a,b,c_lo, d_hi, m,n) 其中f_name为被积函数f(x,y)字符串,其
4、中x为标量, y为向量 ,c_lo和d_hi是y的下上限 ; a , b为x的下上限；m, n 为x和y方向的等分数(缺省值100)。,四、使用MATLAB,解 将被积函数及y的上下限函数写为M函数文件，再调用dblquad2即可求解。,例1,trapz 梯形法积分 quad 变步长数值积分 int 符号积分 quad8 高精度数值积分 dblquad 矩形区域的二重积分,1、梯形积分法 trapz 是最基本的数值积分方法, 精度低。 z=trapz(x,y), 返回积分的近似值，其中x 表示积分区间的离散化向量; y是与x同维数的向量,表示被积函数 。,例2,解 clear; x=-1:0.
5、1:1; y=exp(-x.2); trapz(x,y),2、变步长数值积分 z=quad8(fun,a,b,tol) 返回积分的近似值， 其中 fun表示被积函数的M函数名, a、b 表示积分下上限, tol为精度, 缺省值为1e-30。,注1：quad用法与quad8相同，但quad8精 度较高，且对假收敛和假奇异积分 具有一定适应性，而quad较差。,注2：trapz, quad, quad8都不能用于求广义 积分。,3、重积分,矩形区域二重积分. z=dblquad(fun,a,b,c,d) 其中fun 表示被积函数 f 的M函数名, a,b表示变量 x 的下上限，c,d表示变量 y
6、的下上限。,dblquad只能求矩形区域的二重积分，不如上述M函数dblquad2适用面广。,4、符号积分 int(s) 符号表达式s 的不定积分； int(s,v) 符号表达式s 关于变量v的不定 积分； int(s,a,b) 符号表达式s 的定积分, a,b分别 为下上限； int(s,v,a,b) 符号表达式s 关于变量v 从 a 到 b的定积分。,例 3(引例) 现在来求大蛋糕重量和表面积：解 syms h; r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5; vpa(int(pi*r2,h,0,1),5) , rn=subs(r,h,1); vpa(int(2*pi*r,h,0,1)+pi*rn2,5),例 4 一半径为5m的球形水罐充满了水，底部有一半径为b=0.1m的小孔漏水，问多少时间以后，水面下降至离底部0.5m?,解 水从孔漏出的速度由下列能量方程决定 g(z+R)=u2/2 ， u是速度, z表示从球心 测量的水面高度, g为重力加速度。,考虑在时间dt内水面变化dz，漏水的体积为 uAdt= - x2dz 其中x为高度z水面的半径, A=b2 由于R2=z2+x2 得dt =,在顶部z=R水降到0.5m时， z=0.5-R，从而 t =,5m,0.5m,0,
