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1、2019/1/11,1,2009学年第二学期 高等数学二总复习,2019/1/11,2,第一节 向量及其线性运算,第二节 数量积 向量积,第三节 曲面及其方程,第四节 空间曲线及其方程,第五节 平面及其方程,第六节 空间直线及其方程,第八章 向量代数与空间解析几何,2019/1/11,3,1. 向量的概念及其线性运算,2. 空间直角坐标系,3. 利用坐标变量作向量的线性运算,4. 向量的模、方向角、投影,第一节 向量及其线性运算,2019/1/11,4,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐
2、标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系,向径,点 M,有序数组,(称为点 M 的坐标),2019/1/11,5,坐标轴 :,坐标面 :,2019/1/11,6,设点 M,则,的坐标为,2. 向量的坐标表示,2019/1/11,7,3、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,设 a 为非零向量 , 则,( 为唯一实数),定理1,2019/1/11,8,4、向量的模,有,例： 单位向量,2019/1/11,9,第二节 数量积 向量积,1、两向量的数量积,2、两向量的向量积,2019/1/11,10,设,则,当,为非零向量时,2. 两向量夹角的余弦的坐标表示,1. 数
3、量积的坐标表示,2019/1/11,11,定义,向量,方向 :,记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,3. 向量积的定义,2019/1/11,12,第三节 曲面及其方程,四、二次曲面,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱 面,2019/1/11,13,(1) 曲面 S 上任意点的坐标都满足此方程;,两个基本问题 :,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状,( 必要时需作图 ).,定义1,F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z
4、 ) = 0 的图形，若,2019/1/11,14,二次曲面,三元二次方程,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),2019/1/11,15,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,例1 椭球面,2019/1/11,16,例2 椭圆抛物面,特别地,当a = b时 为绕 z 轴的旋转抛物面.,2019/1/11,17,第四节 空间曲线及其方程,四、空间曲线在坐标面上的投影,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、曲面的参数方程,2019/1/11,18,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可
5、视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的参数方程.,2019/1/11,19,三、曲面的参数方程,一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如,四、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,2019/1/11,20,第五节 平面及其方程,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,2019/1/11,21,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量
6、,则有,故,2019/1/11,22,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,此方程称为平面的一般方程。,的平面,方程的图形是,法向量为,2019/1/11,23,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,2019/1/11,24,特别有下列结论：,2019/1/11,25,第六节 空间直线及其方程,四、直线与平面的夹角,一、空间直线方程的一般方程,二、空间直线方程的对称式方程和参数方程,三、两直线的夹角,五、平面束,2019/1/11,26,空间直线方程,一般式,对称式,参数式,2019/1/11,27
7、,第九章 多元函数微分法及其应用,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,2019/1/11,28,主 要 内 容,第一节 多元函数的基本概念,第二节 偏导数,第三节 全微分,第四节 多元复合函数的求导法则,第五节 隐函数的求导公式,第六节 多元微分学的几何应用,第七节 方向导数与梯度,第八节 多元函数的极值及其求法,2019/1/11,29,点集 D 称为函数的定义域 ;,数集,称为函数的值域 .,映射,称为定义,在 D 上的 n 元函数 , 记作,定义1 设非空点集,第一节 多元函数的基本概念,2019/1/11,30,定义2 设 n 元函数,点 ,则称 A 为函数,P0 是 D 的聚,若存
8、在常数 A ,对一,记作,都有,对任意正数 , 总存在正数 ,切,定义3 设 n 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上,如果存在,则称 n 元函数,各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续.,连续。,2019/1/11,31,第二节 偏导数,一、偏导数的定义及其计算方法,二、高阶偏导数,2019/1/11,32,一、偏导数定义及其计算方法,当点(x, y)沿各种不同的方向变动趋向于(x0, y0)时，,二元函数z = f (x, y)一般有不同的变化率.,我们先讨论当沿着平行于x 轴或y轴方向变动,（即一个自变量变化，而另一个自变量固定不变）时 函数的变化率.,此时，它们就是一元函数的变
9、化率.,2019/1/11,33,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,定义1,2019/1/11,34,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数,记为,或 y 偏导数存在 ,2019/1/11,35,二、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:,2019/1/11,36,则,注:,故在其定义区域内,是连续的 ,因此求初等函数的高阶导数可选择
10、方便的 求导顺序.,初等函数的偏导数为初等函数 ,定理,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),2019/1/11,37,第三节 全微分,一、全微分的定义,二、全微分存在的条件,三、小结与思考练习,2019/1/11,38,定义 函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,在点 (x, y) 的全微分为,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微.,2019/1/11,
11、39,若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数,必存在,且有,定理1(必要条件),若函数,的偏导数,则函数在该点可微.,定理2 (充分条件),2019/1/11,40,关系图：,2019/1/11,41,第四节 多元复合函数的求导法则,一、多元复合函数的求导法则,二、全微分的形式不变性,2019/1/11,42,一、多元复合函数的求导法则,定理 若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,且有链式法则,2019/1/11,43,设下面所涉及的函数都可微 .,中间变量是多元函数的情形，如,推广:,口诀 :,分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导,
12、2019/1/11,44,第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,2019/1/11,45,若函数,的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,上面的求导公式推导如下:,满足, 在点,满足:,某一邻域内可唯一确,定理2,2019/1/11,46,两边对 x 求偏导,同样可得,则,2019/1/11,47,解： 利用隐函数求导,再对 x 求导,例2 设,2019/1/11,48,第六节 多元微分学在几何上的应用,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,2019/1/11,49,曲面 在点 M 的法
13、向量,切平面方程,法线方程,2019/1/11,50,解: 设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),2019/1/11,51,第七节 方向导数与梯度,一、方向导数,二、梯度,2019/1/11,52,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度，,记作,在点,处的梯度,向量,定义,2019/1/11,53,第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,2019/1/11,54,二、条件极值 拉格朗日乘数法,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,2019/1/11,55,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,方法2 拉格朗日乘数法.,2019/1/11,56,引入拉格朗日函数函数,极值点必满足,则极值点满足:,
