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1、1,CAD技术基础,华中科技大学 材料学院 廖敦明 ,2,第三章 产品造型,3.1 形体的机内表示 (参见李建军的书) 3.2 参数曲线与曲面 (参见孙家广的图形学P286) 3.3 基于线框、表面、实体和特征统一表示的造型 (参见李建军的书 第5章 产品零件造型.doc ),3,3.2 参数曲线和曲面,3.2.1 概述 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。 起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放
2、样工艺，由Coons、Bezier等大师于20世纪60年代奠定其理论基础。,4,1963年：美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次Hermite插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。 仅用端点的位置和切矢控制曲线形状是不够的，中间的形状不易控制，且切矢控制形状不直接。,5,1964年，美国麻省理工学院（MIT）的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面，Ferguson曲线曲面只是Coons曲线曲面的特
3、例。而孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的曲面满足给定的边界条件，例如经过给定边界，具有给定跨界导矢等等。但这种方法存在形状控制与连接问题。 同年，舍恩伯格(Schoenberg)提出了参数样条曲线、曲面的形式。,6,1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法，这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。 但当构造复杂曲面时，Bezier方法仍存在连接问题和局部修改问题。 同期，法国雪铁龙（Citroen）汽车公司的德卡斯特里奥（de Cas
4、telijau）也独立地研究出与Bezier类似的方法 。,7,1972年，德布尔（de Boor）给出了B样条的标准计算方法。 1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。这种方法继承了Bezier方法的一切优点，克服了Bezier方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，B样条方法显示出明显不足，不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学
5、描述形式，容易造成生产管理混乱。 1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理B样条方法。,8,80年代后期 皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。 NURBS方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现；NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS
6、曲线曲面，便于继承和发展。 由于NURBS方法的这些突出优点，国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准，将NURBS方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使NURBS方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。,9,3.2.2 曲线表示的基本知识 1. 曲线和曲面的三种表示方法 1）显式 y=f（x）； z f（x，y） 2）隐式 f（x，y，z） 0 3）参数表示 x = x(t)，y =y(t)，z=z(t) 如平面曲线上任一点P可表示为： P(t) = x(t), y(t) 如直线：P (t) = P1+(P2-P1)t t0, 1
7、对P求导，可表示为： P(t) = x (t), y (t) 由于参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面。,10,11,有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 y=ax3+bx2+cx+d 二维三次曲线的参数表示为： x=at3+bt2+ct+d y=et3+ft2+gt+h (2) 变换时，参数曲线可对方程进行变换，而非参数曲线要对每一个点进行变换 (3) 便于处理斜率为无穷大的问题。 (4) 便于把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间。 (5) 规格化的参数变量 t0,1,是有界的，不必用另外的参数去表示边界 (6)便于用矢量和矩阵表示几何分量，
8、简化了计算。,12,2. 位置矢量 P( t ) = x( t ), y( t ) , z( t ) P( t ) = dP/dt P( t ) = d2P/dt2,13,3. 参数曲线的切矢量、法矢量、曲率、挠率,切矢量 dP/ds=P(t)/|P(t)| 曲率 转角/s 或者 转角/c,14,15,法矢量 法平面 主法矢 扰率,16,4. 插值、逼近、拟合及光顺,插值与插值函数 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, , n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 线性插值 y=(x) = ax+b 抛物线插值 y= (x) = ax2+bx
9、+c,17,4. 插值、逼近、拟合及光顺,逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。 最小二乘法 n个点 构造一个m( mn-1)次多项式 y=F( x ) 各点偏差的平方和最小 加权的方差最小,18,4. 插值、逼近、拟合及光顺,拟合：插值和逼近则统称为拟合（fitting） 光顺：通俗含义指曲线的拐点不能太多，曲线拐来拐去，就会不顺眼，对平面曲线而言，相对光顺的条件是：a）具有二阶几何连续性(G2)； b）不存在多余拐点和奇异点； c）曲率变化较小。,19,5. 曲线段间C1 C2和G1 G2连续性定义,曲线间连接的光滑度的度量
10、有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为Cn或n阶参数连续性。另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于Cn的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为Gn。曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，Cn连续包含在Gn连续之中。,20,几何连续性 零阶几何连续定义： Q1(1) = Q2(0) 称C0和G0连续 一阶几何连续定义： Q1(1) = Q2(0) ，Q1 (1) = Q2 (0) 称C1连续 Q1(1) = Q2(0) ，Q1 (1) = nQ2 (0) 称G1连续 二阶几何连续定义： C1连续 ，Q1 (1)
11、 = Q2 (0) 称C2连续 G1连续 ，Q1 (1) = nQ2 ( 0) 称G2连续 Cn参数连续性比Gn几何连续性的条件要苛刻！,21,3.2.3 Bezier曲线,Pn,贝赛尔（1910-2000）23岁进巴黎郊区的雷诺汽车厂工作，从事刀具设计，零件生产线和数控钻床、铣床的组装调试。他在50岁时开始研究几何化的曲面构造方法，独自开拓了一条全新的道路，用多边形的顶点来定义自由曲线（1962）。就像有些画家在素描人像时先用折线勾画脸部和身材的大致轮廓，再逐渐修正线条，贝赛尔完全用折线来精确定义一条曲线。,22,给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），则Bezier参数曲线
12、上各点坐标的插值公式是：,其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：,注意：约定 0 = 1, 0! = 1,1定义,23,如图所示是一条三次Bezier曲线实例，即 n 3,对于三次Bezier曲线，其表达式为,24,伯恩斯坦（Bernstein）基函数,Bi, n (u)是函数逼近论中早已知名的伯恩斯坦（Bernstein）基函数，是0，1区间的n次多项式。 Bernstein基函数的性质: （1）正性 （2）端点性质,25,（3）权性 由二项式定理可知： （4）对称性 因为,26,（5）递推性 其计算过程表示为： 即高一次的Bernste
13、in基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。 （6）导函数 （7）最大值： 在 处达到最大值。,27,n次伯恩斯坦基函数共有n+1个，与多边形的控制顶点数相等，所以每个基函数分别作用于一个顶点，在0，1区间内将各个顶点所连成的折线多边形调配成一条光滑曲线。 贝赛尔曲线是一条整体曲线，它的次数等于控制顶点数减1。所以15个顶点产生一条14次贝赛尔曲线。 次数越高，曲线越光滑，但是它离开控制多边形越远，越难从多边形的形状来预测曲线形状。,28,2. Bezier曲线的性质,（1）端点性质 a) 曲线端点位置矢量 当t=0时，P(0) = P0 当t=1时，P(1) = Pn
14、由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。 b)端点切矢量为,当t=0时，P(0) = n(P1-P0)， 当t=1时，P(1) = n(Pn-Pn-1) 这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。 c)端点二阶导矢,当t=0时，,当t=1时，,上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1） 个相邻点有关，与更远点无关。,29,(2) 对称性,由控制顶点,构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反,30,(3) 凸包性,由于 ，且 ， 这一结果说明当t在0，1区间
15、变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点 的加权平均，权因子依次是 。在几何图形上，意味着Bezier曲线P(t)在 中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中，如图所示。,31,(4) 几何不变性,是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择。,（参变量u是t的置换）,移动n次Bezier的第j个控制点，将对曲线上参数为t=j/n 的点 P(j/n) 处发生最大的影响 适合于形状设计,32,（6）变差缩减性 若Bezier曲线的特征多边形 是一个平面图形，则平面内任意直线与C(t)的交点个数
16、不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。,33,3. Bezier曲线的矩阵表示,34,(3) 三次Beizer曲线,35,4. Bezier曲线的分割递推De Casteljau算法,抛物线的三切线定理,当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有,这二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1） 和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。,36,n+1个控制点Pi(i=0, 1, ., n)定义的n次Bezier曲线的Pn0 可被定义为分别由前、后
