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1、平稳时间序列分析,本课程内容： 第一章：平稳时间序列分析导论 第二章：平稳时间序列分析的基础知识 第三章：平稳时间序列模型的建立,第一章 平稳时间序列分析导论,一、时间序列 1、含义：指被观察到的依时间为序排列的数据序列。 2、特点： （1）现实的、真实的一组数据，而不是数理统计中做实验得到的。既然是真实的，它就是反映某一现象的统计指标，因而，时间序列背后是某一现象的变化规律。 （2）动态数据。,二、时间序列分析 1、时间序列分析：是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法。其基本思想：根据系统的有限长度的运行记录（观察数据），建立能够比较精确地反映序列中所包含的动态依存关系的数学模型
2、，并借以对系统的未来进行预报（王振龙） 2、计量经济学中的建模方法和思想 3、理论依据：尽管影响现象发展的因素无法探求，但其结果之间却存在着一定的联系，可以用相应的模型表示出来，尤其在随机性现象中。,三、确定性时间序列分析与随机性时间序列分析 时间序列依据其特征，有以下几种表现形式，并产生与之相适应的分析方法： （1）长期趋势变化 受某种基本因素的影响，数据依时间变化时表现为一种确定倾向，它按某种规则稳步地增长或下降。 使用的分析方法有：移动平均法、指数平滑法、模型拟和法等；,（2）季节性周期变化 受季节更替等因素影响，序列依一固定周期规则性的变化，又称商业循环。 采用的方法：季节指数； （3
3、）循环变化 周期不固定的波动变化。,(4)随机性变化 由许多不确定因素引起的序列变化。它所使用的分析方法就是我们要讲的时间序列分析。 确定性变化分析 趋势变化分析 周期变化分析 循环变化分析 时间序列分析 随机性变化分析 AR、MA、ARMA模型,四、发展历史 1、时间序列分析奠基人： 20世纪40年代分别由Norbort Wiener 和Andrei Kolemogoner 独立给出的，他们对发展时间序列的参数模型拟和和推断过程作出了贡献，提供了与此相关的重要文献，促进了时间序列分析在工程领域的应用。 2、时间序列分析在经济领域的应用 20世纪70年代，G.P.Box 和G.M.Jenkin
4、s发表专著时间序列分析：预测和控制，使时间序列分析的应用成为可能。BJ方法 3、现代时间序列分析的发展趋势 （1）单位根检验（2）协整检验,2003年度诺贝尔经济学奖的获得者是美国经济学家罗伯特.恩格尔和英国经济学家克莱夫.格兰杰。 获奖原因：“今年的获得者发明了处理许多经济时间序列两个关键特性的统计方法：时间变化的变更率和非平稳性。”两人是时间序列经济学的奠基人。,时间变化的变更率指方差随时间变化而变化的频率，这主要是指恩格尔在1982年发表的条件异方差模型（ARCH），最初主要用于研究英国的通货膨胀问题，后来广泛用作金融分析的高级工具； 传统的计量经济学研究中，通常假定经济数据和产生这些数
5、据的随机过程是平稳的。格兰杰的贡献主要是在非平稳过程假定下所进行的严格计量模型的建立。（协整检验）,第二章 平稳时间序列分析的基础知识,第一节 随机序列 一、随机过程 1、定义： 在数学上，随机过程被定义为一组随机变量，即，,其中，T表示时间t的变动范围，对每个固定的时刻 t而言，Zt是一随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。,2、特征 （1）随机过程是随机变量的集合 （2）构成随机过程的随机变量是随时间产生的，在任意时刻，总有随机变量与之相对应。,二、随机序列（时间序列） 1、当 时，即时刻t只取整数时，随机过程 可写成 此类随机过程 称为随机序列，也成时间序列。,可见 （1）随机
6、序列是随机过程的一种，是将连续时间的随机过程等间隔采样后得到的序列； （2）随机序列也是随机变量的集合，只是与这些随机变量联系的时间不是连续的、而是离散的。,三、时间序列的分布、均值、协方差 函数 1、分布函数 (1)一维分布函数:随机序列中每个随机变量的分布函数. F1(z) ,F2(z) , Ft-1(z) , Ft(z) (2)二维分布函数:随机序列中任意两个随机变量的联合分布函数 Fi,j(zi,zj).i,j=,-2,-1,0,1,2,2、均值函数 对随机序列中的任一随机变量取期望。 当t取遍所有可能整数时，就形成了离散时间的函数ut称ut 为时间序列的均值函数。 3、自协方差函数和
7、自相关函数,自相关函数： 当t,s取遍所有可能的整数时，就形成了时间序列的自相关函数，它描述了序列的自相关结构。它的本质等同于相关系数。,第二节 平稳时间序列,一、平稳时间序列 1、定义：时间序列zt是平稳的。如果zt有有穷的二阶中心矩，而且满足： （1）ut= Ezt =c; （2）r(t,s) = E(zt-c)(zs-c) = r(t-s,0) 则称zt是平稳的。 含义： a有穷二阶矩意味着期望和自协方差存在； b平稳时间序列任意时刻所对应的随机变量的均值相等； c自协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关。,二、平稳时间序列的均值、自协方差和自相关函数 1、均值函数：平稳时间序列均
8、值为常数，为分析方便，假定E zt=0，当均值不为零时，给每个值减去均值后再求均值，即等于0。 2、自协方差函数：平稳时间序列的自协方差仅与时间间隔有关，而与具体时刻无关，所以，自协方差函数仅表明时间间隔即可。,3、自相关函数k 平稳时间序列自协方差仅与时间隔有关，当间隔为零时，自协方差应相等。,4、自协方差与自相关函数的性质 (1) rk=r-k k= -k k、k仅是时间先后顺序上的差异，它们代表的间隔是相同的。 (2),三、偏自相关函数（PACF) 1、偏自相关函数用来考察扣除zt 和zt+k之间zt+1 ， zt+2， zt+k-1影响之后的zt 和zt+k之间的相关性。 2、偏自相关
9、函数的定义 设zt为零均值平稳序列， zt+1 ， zt+2， zt+k-1对zt 和zt+k 的线性估计为：,kk表示偏自相关函数，则：,3、PACF的涵义 设有zt+1，zt+2，zt+3,4、pacf的推导,四、 随机序列的特征描述,（1）样本均值 （2）样本自协方差函数,（3）样本自相关函数 （4）样本偏自相关函数,例1、设动态数据16，12，15，10，9，17，11，16，10，14，求样本均值、样本自相关函数（SACF）和偏自相关函数（SPACF）（各求前三项）,第三节 线性平稳时间序列模型 一、自回归过程(A R (p)） 1、,2、AR(P)模型的ACF、PACF特征 以AR
10、(1)为例,例：,计算结果表明，ACF逐渐衰减，但不等于零；PACF在k=1后，与零接近，是截尾的。 结论：ACF呈指数衰减，是拖尾的；PACF在一步后为零，是截尾的。,二、移动平均模型（MA(q)） 1、形如zt=at-1at-1- 2at-2 - qat-q模型为滑动平均模型， 其中，简化形式zt=(B)at (B)= 1-1B- 2B2 - qBq,满足(B)= 0的根在单位圆外，即B1，此时该过程是可逆的。 2、MA模型的ACF及PACF,(3)PACF,例：用zt=(1-0.5B)at模拟产生250个观察值，at为白噪声序列，得到序列自相关和偏自相关函数如下： 可见，ACF在一步后截
11、尾，PACF是拖尾的。 结论：MA(q)的ACF是截尾的，PACF是拖尾的。,三、自回归移动平均模型（AR M A (p, q)） 1、,2、ARMA(p,q)的ACF和PACF,(2)ACF、PACF均是拖尾的 例：(1-0.9B)zt=(1-0.5B)at模拟产生250个观察值，ACF、PACF如下表所示：,本节介绍了三类模型的形式、特性及自相关和偏自相关函数的特征，现绘表如下：,第三章 平稳时间序列模型的建立,第一节 模型识别与定阶 一、模型识别 1、含义：对一个观察序列，选择一个与其实际过程相吻合的模型结构。 2、方法：利用序列的acf、pacf识别。判断截尾、拖尾的主观性较大，只是初
12、步识别。,二、模型定阶 （一）a c f、p a c f方法 （1）M A (q): Bartlett公式：当kq时，N充分大，,(2)AR（P）：,（二）残差方差图： （1）残差：在多元回归y=a1x1+ a2x2+.+ an x n +at,存在自变量x的选择问题。如果x选择不够，模型拟合不足，表现为y与 差异较大；若x选择多，则过度拟合，y与差异减小速度很慢。 将(y- )称为残差，多元回归就是利用此确定模型的自变量，即新增或减少变量是否会显著影响残差。 （2）将该思想应用到时间序列模型定阶上。,(3)利用a2的变化规律，确定模型阶数。 随着模型阶数的增大，分母减小；分子在不足拟合时，一
13、直减小，速度较快；过拟合时，分子虽减小，但速度很慢，几乎不变。 a2取决于分子、分母减小的速度。在不足拟合时， a2一直减小；过拟合时，a2却增大。 选择a2的最低点为模型的最优阶数。,（三）F 检验定阶法： （1）F分布：,（2）用F分布检验两个回归模型是否有显著差异。,(3)对于ARMA(p,q)模型定阶 例如：在ARMA(p,q)和ARMA(p-1,q-1)选择。,例：每隔20分钟进行一次观察的造纸过程入口开关调节器的观察值160个。 1、series Mean S.D Max Min z 32.02 0.74 34 30.7 令z1=z 32.02,2、 1 2 3 4 5 6 7 8
14、 9 10 acf 0.868 0.782 0.708 0.663 0.627 0.617 0.594 0.559 0.5 0.48 pacf 0.868 0.115 0.028 0.099 0.055 0.122 0.01 0.04 -0.099 0.1,3、定阶 （1）acf、pacf： 从 acf、pacf可知， acf拖尾，pacf截尾，初步识别为AR模型。,具体阶数：,(2)残差方差：,(3)F检验：,（四）最佳准则函数定阶法 1、基本思想：确定一个函数，该函数既要考虑用某一模型拟合原始数据的接近程度，同时又考虑模型中所含参数的个数。当该函数取最小值时，就是最合适的阶数。 衡量模型拟合数据的接近程度的指标是残差方差。 残差方差= 2、最佳准则函数包括AIC、BIC准则。,3、AIC准则 (1)该准则既适合于AR，也适合于ARMA模型。,关于ARMA模型的定阶 1、ACF、PACF都呈现一定的拖尾性，试拟合ARMA模型。Pandit-Wu于1977年提出了不同于Box-Jenkins的系统建模方法。该方法认为，任一平稳序列总可以用一个ARMA(n,n-1)表示，AR(n)、MA(m)、ARMA(n,m)都是ARMA(n,n-1)的特例。 2、建模思想：逐渐增加模型阶数，直到剩余平方和不再减小为止。,3、如何在不同模型之间取舍,
