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1、作业讲评,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,主要问题,记号混乱,(2),求全导数时用y=f (x)代入后按一元函数求导.,没错, 但不符合要求.,解:,记号, 如:,而,将,混淆;,使用各种各样的不当,13(3),求,14(2),解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,其中f具有二阶连续偏导数,求,(因f具有二阶连续偏导数, 所以,看清题目要求,不要少做题.,第八章,第六节,二 元 函 数 的 极 值,一、二元函数的极值,二、条件极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、最小二乘法,本节的教学要求,掌握二元函数的极值判别条件, 会求解简单的二元函数极值问题 了解条件极值概念
2、和拉格朗日乘数法 了解最小二乘法的原理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重点,回顾一元函数的极值,(一) 二元函数的极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,f (x)在x=x0可导, x=x0为极值点,f (x0)=0.,f(x)在x=x0的两侧异号,f(x0)=0, f”(x0)0 或 f”(x0)0,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .,x=x0为f (x)的极值点,x=x0 为极值点,定义8.7,的某一邻域内的所有点,如果二元函数,的极大值,对于点,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,总有
3、,是函数,如果总有,的极小值,则称,是函数,极大值与极小值统称为极值 .,极大值点与极小值点统称为极值点 .,称,是,函数 f (x,y)的极大值点;,称,是,函数 f (x,y)的极小值点.,无极值.,如,定理8.4,(极值存在的必要条件),同理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,如果函数,在点,处有极值,且两个一阶偏导数存在,则有,如果取,则函数,是x的一元函数,因为,时,的极值, 所以,是,为驻点.,驻点不一定是极值点.,例1 求,解:,的极值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由,得驻点,因为,所以(0,0)是极小值点,为极小值(也是最小值).,例2 求,的极值.,机动 目
4、录 上页 下页 返回 结束,解:,由,得驻点(0,0),因为,所以(0,0)是极大值点,为极大值(也是最大值) .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 讨论函数,是否有极值.,解:,由,得驻点(0,0).,但当,当,时有,时有,因此,不是极值,此函数无极值.,定理8.5,则,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的某一邻域内有连续的二阶偏导数,则,(1)如果,是它的驻点,(极值存在的充分条件),如果函数f (x,y)在点,且,设,是极大值;,则,且,(2)如果,是极小值;,则,(3)如果,不是极值;,则,(4)如果,是否为极值需另法判别.,(证明略),例4,由,再由,得,所以(3,2)
5、不是极值点;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求函数,的极值.,解:,得驻点,因为,且,所以在点(3,2)处函数有极大值,注意: 不可导点也可能是极值点.,设箱子的长, 宽, 高分别为x,y,z, 容量为V ,要造一个容量一定的长方体箱子, 问选择怎样的,例5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于,尺寸, 才能使所用的材料最少?,解:,设箱子的表面积为S，,所以,这是x,y的二元函数，定义域 D=(x, y)| x0, y0.,由,得驻点,根据实际问题可知，S一定存在最小值，,所以,是使S取得最小值的点,即当x=y=z=,时, 函数S取得最小值,亦即当箱子的长、宽、高,相等时, 所用的
6、材料最少.,则有,则V=xyz,例6,求两种产品各生产多少, 工厂可取得最大利润?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,与9元, 生产x单位的产品I 与生产y单位的产品 II 的总,解:,(元),设 L(x, y) 表示产品与分别生产x与y单位时所,得驻点(120,80).,某工厂生产两种产品与, 出售单价分别为10元,费用是:,得的总利润.,由,因为总利润等于总收入减去总费用,所以,驻点(120,80).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再由,由题意知, 生产120件产品, 80件产品时所得利润,而,最大.,所以,当x=120和y=80时, L(120,80)=320是极大值.,机动 目
7、录 上页 下页 返回 结束,无条件极值,条件极值,（二）条件极值和拉格朗日乘数法,如例6的生产问题,此时无极值.,一定受到生产能力的限制,自变量不受条件约束时的极值,自变量受条件约束时的极值,受约束,故实际中多数情况是条件极值问题.,如果产量不,求收益最大时的产量就是无条件极值问题,因为实际中, 产量,当然这不符合实际,包括资金、人力、 固定,设备等的约束.,产量越高, 收益越大,第一步 作拉格朗日函数,求解条件极值问题的一种方法.,拉格朗日乘数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 称为拉格朗日乘数.,求函数,步骤:,得点,第二步 求解,消去, 解出x,y，,第三步 判别,此点为可能极值点
8、.,由问题的具体性质判断),在约束条件,下的极值.,问题:,(用充分条件或,是否为极值点.,求三元函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(约束条件一般应少于未知量的个数)下的极值的方法：,判断它是否为极值点.,消去, 解出x,y,z, 得点,作拉格朗日函数,由,在约束条件,为拉格朗日乘数；,例7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用拉格朗日乘数法求本节例6中容积一定的长方,消去, 解出,即求函数,条件,解:,体表面积最小值。,在约束,下的最小值。,方程组一般为非线性方程组,常常难于求得解析解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的最短距离。,解:,例8,的距离r 满足,到平面,到任一点
9、,应满足条件为,求由一定点,点,点,令,得,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,经验公式,之间的数学关系式.,（三）最小二乘法,最小二乘法是建立经验公式的一种方法.,将这些数据作为平面上点的坐标,出这些点.,用实验或调查得到的数据,如何确定a, b?,为了确定变量x和y之间的相依关系,为x与y之间存在线性关系,n次测量或调查,建立的各个量,我们对它们进行,得到n对数据,在直角坐标系中描,若这些点几乎分布在一条直线上,我们就认,直线的方程为,a, b应使直线与这n个点“最接近”,如何确定a, b?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,最小.,个函数的极值的问题。,接近”最合理的表述应该是使,
10、把S看成a, b的函数,“最,求方程中a, b值的问题就是求这,测量值点,直线上的点,a, b取何值能使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,最小?,其中,解出a,b就得到最小二乘法公式：,例9,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如表所列。,代入公式得,试利用表中数据建立变量 依赖于变量 的线性关系.,解: 列表计算各和数(i =1,2,6),两个相依的量与, 由确定, 经6次测试, 得数据,变量依赖于变量的线性关系是,课堂练习,1. 求下列函数的极值,又,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,因此函数在点(4,1)取得极小值,由,得驻点,2. 欲围一个面积为60米2 的矩形场地, 正面所用材料每米造价10元, 其余三面每米造价5元, 求场地长宽各为多少米时, 所用材料费最少.,材料费为z元.,消去, 解得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,设长、宽各为x,y米,设,显然存在最小值,所以长宽各为,米时材料费最少.,也可以代入消去y,内容小结,1. 二元函数的极值,2. 条件极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,必要条件,充分条件,拉格朗日乘数法, 代入法,作业 P365 19(2),(3); 20; 21; 22; 23(2),
