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1、第30练计数原理、随机变量、数学归纳法明晰考情1.命题角度：计数原理与排列、组合的简单应用；n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差；数学归纳法的简单应用.2.题目难度：中档难度.考点一计数原理与二项式定理的综合方法技巧(1)区分某一项的二项式系数与这一项的系数两个不同的概念；(2)在二项式展开式中，利用通项公式求一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项等；(3)根据所给式子的结构特征，对二项式定理的逆用或变用；(4)关于x的二项式(abx)n(a，b为常数)的展开式可以看成是关于x的函数，当展开式涉及到与系数有关的问题时，可以利用函数思想来解决.1.设A，B均为非空集合，且
2、AB，AB1,2,3，n(n3，nN*).记A，B中元素的个数分别为a，b，所有满足“aB，且bA”的集合对(A，B)的个数为an.(1)求a3，a4的值；(2)求an.解(1)当n3时，AB1,2,3，且AB.若a1，b2，则1B,2A，共C种；若a2，b1，则2B,1A，共C种，所以a3CC2；当n4时，AB1,2,3,4，且AB.若a1，b3，则1B,3A，共C种；若a2，b2，则2B,2A，这与AB矛盾；若a3，b1，则3B,1A，共C种，所以a4CC2.(2)当n为偶数时，AB1,2,3，n，且AB.若a1，bn1，则1B，n1A，共C(考虑A)种；若a2，bn2，则2B，n2A，共
3、C(考虑A)种；若a1，b1，则1B，1A，共(考虑A)种；若a，b，则B，A，这与AB矛盾；若a1，b1，则1B，1A，共(考虑A)种；若an1，b1，则n1B,1A，共C(考虑A)种.所以anCCC2n2；当n为奇数时，同理，anCCC2n2.综上所述，当n3，且nN*时，an2.已知等式(1x)2n1(1x)n1(1x)n.(1)求(1x)2n1的展开式中含xn的项的系数，并化简：CCCCCC；(2)证明：(C)22(C)2n(C)2nC.(1)解(1x)2n1的展开式中含xn的项的系数为C，由(1x)n1(1x)n(CCxCxn1)(CCxCxn)可知，(1x)n1(1x)n的展开式中
4、含xn的项的系数为CCCCCC.所以CCCCCCC.(2)证明当kN*时，kCknnC，所以(C)22(C)2n(C)2k(C)2 (kCC)(nCC)n(CC)n (CC).由(1)知，CCCCCCC，即(CC)C，所以(C)22(C)2n(C)2nC.3.设f(x)是定义在R上的函数，已知nN*，且g(x)Cfx0(1x)nCfx1(1x)n1Cfx2(1x)n2Cfxn(1x)0.(1)若f(x)1，求g(x)；(2)若f(x)x，求g(x).解(1)f(x)1，fff1，g(x)Cx0(1x)nCx1(1x)n1Cx2(1x)n2Cxn(1x)0(1x)xn1.零的零次幂无意义，g(x
5、)1，且x0，x1，xR.(2)rCrnnC，其中r1,2，n，rCnC(r1,2，n).又f(x)x，g(x)C0x0(1x)nCx1(1x)n1Cx2(1x)n2Cxn(1x)0Cx1(1x)n12Cx2(1x)n2rCxr(1x)nrnCxn(1x)0nCx1(1x)n1Cx2(1x)n2Cxr(1x)nrCxn(1x)0xCx0(1x)n1Cx1(1x)n2Cxr1(1x)(n1)(r1)Cxn1(1x)0x(1x)xn1x，即g(x)x，x0，x1，xR.4.设集合S1,2,3，n(nN*，n2)，A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合
6、对(A，B)的个数为Pn.(1)求P2，P3的值；(2)求Pn的表达式.解(1)当n2时，即S1,2，此时A1，B2，所以P21.当n3时，即S1,2,3.若A1，则B2或B3或B2,3；若A2或A1,2，则B3.所以P35.(2)当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1,2，k1中任取若干个(包含不取)，所以集合A共有CCCC2k1(种)情况，此时集合B的元素只能在k1，k2，n中任取若干个(至少取1个)，所以集合B共有CCCC2nk1(种)情况，所以当集合A中的最大元素为“k”时，集合对(A，B)共有2k1(2nk1)2n12k1(对)，当k依次取1,2,3，n1时，可分别得
7、到集合对(A，B)的个数，求和可得Pn(n1)2n1(2021222n2)(n2)2n11.考点二随机变量及其概率分布方法技巧求解离散型随机变量的概率分布问题，先要明确离散型随机变量的所有可能取值及其对应事件，然后确定概率分布的类型，求出相应事件的概率，即可列出概率分布，再求其数学期望与方差即可.若所求事件比较复杂，可以根据事件的性质将其分为互斥事件之和或转化为对立事件求解即可.5.(2018苏州调研)某公司年会举行抽奖活动，每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下：一个盒子里装有大小相同的6个小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球，抽奖时从中一次摸出3个小球，若所得的小球同色，则获得一等奖，奖
8、金为300元；若所得的小球颜色互不相同，则获得二等奖，奖金为200元；若所得的小球恰有2个同色，则获得三等奖，奖金为100元.(1)求小张在这次活动中获得的奖金数X的概率分布及数学期望；(2)若每个人获奖与否互不影响，求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.解(1)小张在这次活动中获得的奖金数X的所有可能取值为100,200,300.P(X300)，P(X200)，P(X100)，所以奖金数X的概率分布为X100200300P奖金数X的数学期望E(X)100200300140.(2)设3个人中获二等奖的人数为Y，则YB，所以P(Yk)Ck3k (k0,1,2,3)，设该公司某部门3个
9、人中至少有2个人获二等奖为事件A，则P(A)P(Y2)P(Y3) C2C3.答该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为.6.射击测试有两种方案.方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击.某射手命中甲靶的概率为，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，命中一次得2分.若没有命中则得0分.用随机变量表示该射手一次测试累计得分，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立.(1)如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得总分的概率分布和数学期望E()；(2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由.解在
10、甲靶射击命中记作A，不中记作，在乙靶射击命中记作B，不中记作，其中P(A)，P()1，P(B)，P()1.(1)的所有可能取值为0,2,3,4，则P(0)P()P()P()P()，P(2)P(B)P(B)P()P(B)P()P()P()P(B)，P(3)P(A)，P(4)P(BB)P()P(B)P(B).所以的概率分布为0234P所以E()02343.(2)设射手选择方案1通过测试的概率为P1，选择方案2通过测试的概率为P2，P1P(3).P2P(3)P(BB)P(BB)P(BB).因为P1P2，所以选择方案1通过测试的概率更大.7. (2018无锡调研)有甲、乙两个游戏项目，要参与游戏，均需
11、每次先付费10元(不返还)，游戏甲有3种结果：可能获得15元，可能获得10元，可能获得5元，这三种情况的概率分别为，；游戏乙有2种结果：可能获得20元，可能获得0元，这两种情况的概率均为.(1)某人花20元参与游戏甲两次，用X表示该人参加游戏甲的收益(收益参与游戏获得的钱数付费钱数)，求X的概率分布及数学期望；(2)用表示某人参加n次游戏乙的收益，n为任意正整数，求证：的数学期望为0.(1)解X的所有可能取值为10,5,0，5，10，P(X10)2，P(X5)C，P(X0)C2，P(X5)C，P(X10)2，所以X的概率分布为X1050510PE(X)1050(5)(10).(2)证明的所有可
12、能取值为10n,10(n2)，10(n4)，10(n2k)，10n(kN且0kn)，P(10(n2k)Cn(kN且0kn)，E()10nCn10(n2)Cn10(n2k)Cn10(n2n)CnnC(n2)C(n2k) C(n)C，又E()nCn(2n2)Cn(2n2k)CnC，得2E()(nn)C(n22n)C(n2k2kn)C(nn)C，所以E()0.8.(2017江苏)已知一个口袋有m个白球，n个黑球(m，nN*，n2)，这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，mn的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k1,2,3，mn).123mn(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X).(1)解编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为P.(2)证明随机变量X的概率分布为XP随机变量X的期望为E(X).所以E(X)(1CCC)(CCCC)(CCC)(CC)，即E(X).考点三数学归纳法方法技巧利用数学归纳法证明问题，在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“
