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1、,第四章、级 数,基本内容： 1、复数项级数(概念和收敛的充要条件)。 2、幂级数 (收敛圆、收敛半径的计算) 3、函数的泰勒级数、洛朗级数展开式。 重点：收敛半径、级数展开式。,1 复数项 级 数 （常数项级数） 1、复数列的极限：,2、复数项级数：,复习掌握,一、正项级数审敛法：,2 幂 级 数,1、幂级数：,3 泰 勒 级 数,幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数。 研究：一个解析函数是否能用幂级数来表达？,问题：泰勒级数可以将解析函数展开为幂级数，但这样的展开式是否唯一呢？,解析函数泰勒展开式的方法：,(1)、直接法： 直接用泰勒展开定理，根据函数的导数求系数。 (2)、间接法： 借助一
2、些常用函数的泰勒展开式，以唯一性为依据，运用幂级数的性质及复合运算得到解析函数的泰勒展开式。,2、一些常用初等函数的泰勒展开式：,一、讨论下列双边级数：,4 洛朗级数,双边级数可以分为两部分：,收敛区域：为圆环域,和函数性质：在收敛圆环域内， 是解析函数；可以逐项求导；逐项求积分。,级数的正整次幂部分称为解析部分； 级数的负整次幂部分称为主要部分；,问题：洛朗级数展开式是否唯一呢？,洛朗级数展开的求法： （1）直接法：由定义求. 太繁杂，一般不用。 （2）间接法： 借助一些常用函数的级数展开式，以唯一性为依据，运用幂级数的性质、代数运算、复合运算、求导和积分等得到解析函数的洛朗展开式。,三、在
3、计算闭路积分中的应用,第四章 小结（4条）,1、 复数项级数收敛: (1)复数列 收敛的充要条件: 同时收敛（定理一） (2)复级数: （定理二） 收敛的充要条件: 同时收敛. (3)复级数绝对收敛: （定理三） 绝对收敛的充要条件: 同时绝对收敛.,2 、幂级数： (1)Abel定理:收敛范围为圆域,圆内绝对收敛,圆外发散,圆上不定。 (2)收敛半径求法: (3)性质: 和函数在收敛圆内解析,可逐项求导,可逐项积分。,3 、泰勒级数: 定理:在以 为中心的圆域内解析的函数 f(z) ， 可以在该圆域内展开成(z- )的幂级数。 泰勒级数展开式求法:直接法,间接法。 与实变函数相比有不同: 复变函数:解析函数 实变函数:即使任意阶导数存在也不一定能展开成级数.,4、洛朗级数：,
