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1、 Go the distance 【高考地位】 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻 辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用定 值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了 一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用 【方法点评】 方法一方法一 定点问题定点问题 求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量 x，y 当作常数看待，把方 程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部
2、等于零， 这样就得到一个关于 x，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通 过特例探求，再用一般化方法证明 【例 1】 【四川省广安市 2014 年高 2011 级第三次诊断考试 20】(本小题 13 分)已知 A、B 是椭圆1 2 2 2 y x 上的两点，且FBAF，其中 F 为椭圆的右焦点. (1)求实数的取值范围; (2)在 x 轴上是否存在一个定点 M，使得MBMA为定值?若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明 理由.来源:学科网 Go the distance 【变式演练 1】 【2015 届广东惠州市第二次调研】已知椭圆C过点 6 (1,)
3、2 M，点(2,0)F 是椭圆的左焦 点，点P、Q是椭圆C上的两个动点，且PF、MF、QF成等差数列 （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A. Go the distance Go the distance Go the distance 方法方法二二 定值问题定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小 或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值 问题常见的解题模板有两种： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的
4、过程中消去变量，从而得到定值 【例 2】 【河北省唐山市 20142015 学年度高三年级摸底考试 20】 椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率为 3 5 ，P(m，0)为 C 的长轴上的一个动点，过 P 点斜率为 4 5 的直 线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m0 时， 41 2 PA PB (1)求 C 的方程； (2)证明： 22 |PAPB为定值. Go the distance 【变式演练 2】 【江苏省通州高级中学 2013-2014 学年度秋学期期中考试高三数学试卷】如图，已知椭圆 )0( 1: 2 2 2 2 1 ba b y a x C过点(1，
5、2 2 )，离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 12 FF、 .点P 为直线 2lxy： 上且不在x轴上的任意一点，直线 1 PF 和 2 PF 与椭圆的交点分别为AB、 和CDO、 ， 为 坐标原点 (1)求椭圆的标准方程 (2)设直线 12 PFPF、 的斜率分别为 12 kk、 .来源:学,科,网 ()证明： 21 31 kk 2. ()问直线l 上是否存在点 P，使得直线OAOBOCOD、 的斜率 OAOBOCOD kkkk、 满足 0 OAOBOCOD kkkk ？若存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明由 来源:Z_xx_k.Com Go the distance
6、 Go the distance 【高考再现】 1.【2013 年普通高等学校招生全国统一 考试（广东卷）文科】已知抛物线C的顶点为原点，其焦点 0,0Fcc 到直线:20l xy的距离为 3 2 2 设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切 线,PA PB，其中,A B为切点 (1) 求抛物线C的方程； (2) 当点 00 ,P xy为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3) 当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值 Go the distance Go the distance 2. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷） 理】 已知抛物线C的顶点为原点,其焦点0
7、,0Fcc 到直线l:20xy的距离为 3 2 2 .设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线,PA PB,其中 ,A B为切点. Go the distance () 求抛物线C的方程； () 当点 00 ,P xy为直线l上的定点时,求直线AB的方程； () 当点P在直线l上移动时,求AFBF的最小值. 解：() 依题意,设抛物线C的方程为 2 4xcy,由 023 2 22 c 结合0c ,来源:Z_xx_k.Com 解得1c . 所以抛物线C的方程为 2 4xy. () 抛物线C的方程为 2 4xy,即 2 1 4 yx,求导得 1 2 yx Go the distance 3.
8、【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. () 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; () 已知点 B(1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是PBQ的角平分 线, 证明直线 l 过定点. Go the distance 4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】 椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别是 12 ,F F，离心率为 2 3 ，过 1 F且垂直于x轴的直线 被椭圆C截得的线段长为1. （）求椭圆C的方程；
9、 （）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接 12 ,PF PF，设 12 FPF的角平分线PM交C的长轴于 点,0M m，求m的取值范围； （） 在 （） 的条件下， 过点P作斜率为k的直线l,使l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线的 12 ,PF PF 斜率分别为 12 ,k k.若0k ，试证明 12 11 kkkk 为定值，并求出这个定值. Go the distance 00 12 00 , 33 yy kk xx 0 120 211x kky . Go the distance 5.【2012 年高考湖南卷理科】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的点均在 C2： （x-5）2
10、y2=9 外，且对 C1上任 意一点 M，M 到直线 x=2 的距离等于该点与圆 C2上点的距离的最小值. （）求曲线 C1的方程； （）设 P(x0,y0)（y03）为圆 C2外一点，过 P 作圆 C2的两条切线，分别与曲线 C1相交于点 A，B 和 C， D.证明：当 P 在直线 x=4 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为定值. 解： （）解法 1 ：设 M 的坐标为( , )x y，由已知得 22 2(5)3xxy， 易知圆 2 C上的点位于直线2x 的右侧.于是20x，所以 22 (5)5xyx. Go the distance 0102 1234 1 2 400(4 )(
11、4)ykyk y y y y k k 2 01201 2 1 2 4004()16ykkyk k k k Go the distance 22 001 2 1 2 40016 6400 yyk k k k . 所以，当 P 在直线4x 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为定值 6400 6.【20122012 年高考辽宁卷理科】年高考辽宁卷理科】如图，椭圆 22 0 22 :+=1b0,a,b xy Ca ab 为常数，动圆 222 111 :+=, y ，, Go the distance 由得， 2 1 2 2 21 = 2 m AFBF m ， 2 2 1 = 2 m AF B
12、F m ， 12 23 +=2 2=2 22 PFPF, 12 PFPF是定值. 8.【2014 山东，理 21】已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过 点A的直线l交C于另一点B， 交x轴的正半轴于点D， 且有| |FAFD.当点A的横坐标为 3 时，ADF Go the distance 为正三角形. （）求C的方程； （）若直线 1/ ll，且 1 l和C有且只有一个公共点E， （）证明直线AE过定点，并求出定点坐标； （）ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 故直线 AB 的斜率 kABy0 2. 因为直线
13、 l1和直线 AB 平行， Go the distance 所以点 B 到直线 AE 的距离为 d 4 x0x04m y08 y0 1 1m2 4（x01） x0 4 x0 1 x0 ， 则ABE 的学科网面积 S1 2 4 x0 1 x0 x01 x0216， 当且仅当1 x0x0，即 x01 时，等号成立 所以ABE的面积的最小值为 16. 9. 【2014 辽宁，理 20】圆 22 4xy的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面 积最小时，切点为 P（如图） ，双曲线 22 1 22 :1 xy C ab 过点 P 且离心率为3. （1）求 1 C的方程； Go
14、the distance （2）椭圆 2 C过点 P 且与 1 C有相同的焦点，直线l过 2 C的右焦点且与 2 C交于 A，B 两点，若以线段 AB 为 直径的圆心过点 P，求l的方程. x1x2m（y1y2）2 3 4 3 m22 ， x1x2m2y1y2 3m（y1y2）366m 2 m22 . 因为AP ( 2x 1， 2y1)，BP ( 2x 2， 2y2)，由题意知AP BP0， 所以 x1x2 2(x1x2)y1y2 2(y1y2)40， Go the distance 将代入式整理得 2m22 6m4 6110， 解得 m3 6 2 1 或 m 6 2 1. 因此直线 l 的方
15、程为 x(3 6 2 1)y 30 或 x( 6 2 1)y 30. 10. 【2014 江西，理 20】如图，已知双曲线C: 2 2 2 1 x y a (0a )的右焦点F,点BA,分别在C的两条渐 近线上，xAF 轴，BFOBAB,OA(O为坐标原点）. （1）求双曲线C的方程； （2）过C上一点)0)( 00, 0 yyxP的直线1: 0 2 0 yy a xx l与直线AF相交于点M， 与直线 2 3 x相交于点 N，证明点P在C上移动时， NF MF 恒为定值，并求此定值 （2）A(2， 3 32 )，1 3 : 0 0 yy xx l，F（2,0） ， M(2， 0 0 3 32 y x )，N( 2 3 ， 0 0 2 2 y x ) 9 分 Go the distance 3 32 3 |32| |32| 3 2 )2(1 3 3 |
