世纪金榜2016最新版数学文科教师用书配套

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1、第十章 概率 第一节 随机事件的概率,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)基本概念: 必然事件:在条件S下,_发生的事件,叫做相对于条件S的必 然事件. 不可能事件:在条件S下,_发生的事件,叫做相对于条件S 的不可能事件. 确定事件:_事件与_事件统称为相对于条件S的确定事件.,一定会,一定不会,必然,不可能,随机事件:在条件S下_的事件,叫做相对于 条件S的随机事件. 频数、频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出 现,称n次试验中事件A出现的_为事件A出现的频数;称事件A出 现的比例fn(A)= 为事件A出现的频率. 概率:对于给定的随机事件A,如果随着试

2、验次数的增加,事件A发生 的频率fn(A)稳定在_,把这个常数记作P(A),称为事件A的 概率.,可能发生也可能不发生,次数nA,某个常数上,(2)事件的关系与运算:,包含,包含于,BA且AB,AB,(或A+B),AB,(或AB),不可能,不可能,(3)概率的几个基本性质: 概率的取值范围:_. 必然事件的概率为_. 不可能事件的概率为_. 概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(AB)=_. 对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事 件,P(AB)=_,P(A)=_.,0P(A)1,1,0,P(A)+P(B),1-P(B),1,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)

3、由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥. (2)事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含 的结果组成的集合的补集.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:近似代替法、正难则反法、转化法. (2)数学思想:数形结合思想、转化与化归思想. (3)记忆口诀:不可能随机与必然 概率介于0与1间 对立含于互斥中 正难你就求反面,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)事件发生的频率与概率是相同的.( ) (2)随机事件和随机试验是一回事.( ) (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发

4、生.( ),【解析】(1)错误.频率是在相同的条件下重复n次试验,频数与试验次数的比值,它是概率的一个近似值,频率是随机的,概率是一个客观存在的确定的数值. (2)错误.在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件;条件每实现一次,叫做一次试验,如果试验结果无法确定,叫做随机试验.,(3)正确.由概率的定义可知,在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. (4)正确.两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修3P123T1改编)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B) 1. 【解析】由互斥事件概率的性质可知

5、:P(A)+P(B)1. 答案:,(2)(必修3P124T6改编)袋中装有9个白球,2个红球,从中任取3个球,则恰有1个红球和全是白球;至少有1个红球和全是白球;至少有1个红球和至少有2个白球;至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中,是对立事件的为 . 【解析】至少有1个红球和全是白球不同时发生,且一定有一个发生.所以中两事件是对立事件. 答案:,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2015西安模拟)下列各组事件中,不是互斥事件的是 ( ) A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分 C.播种100粒菜籽

6、,发芽90粒与发芽80粒 D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70% 【解析】选B.由互斥事件的意义A,C,D都是互斥事件,而平均分不低于90分与平均分不高于90分都含有90分,故B不是互斥事件.,(2)(2015福州模拟)在一次乒乓球比赛中,某班代表队的两名选手 甲夺得冠军的概率为 ,乙夺得冠军的概率为 ,则该班夺得冠军的 概率为 . 【解析】由于该班夺得冠军的事件包括“甲夺得冠军”和“乙夺得冠 军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以该班夺冠的概 率为 答案:,(3)(2015哈尔滨模拟)若A,B为互斥事件,P(A)=0.4,P(AB)=0.7,则P(B)= . 【解析

7、】因为A,B为互斥事件,所以P(AB)=P(A)+P(B).所以P(B)=P(AB)-P(A)=0.7-0.4=0.3. 答案:0.3,考点1 随机事件及其频率和概率 【典例1】假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示:,(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率. (2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.,【解题提示】(1)根据统计图分析甲品牌产品寿命小于200小时的频率,利用频率估计概率. (2)分析寿命大于200小时的甲、乙品牌的产品数,计算甲产

8、品的频率,从而估计概率.,【规范解答】(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为 所以估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率为 . (2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品共有75+70=145(个),其中 甲品牌产品是75个. 所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是 所以估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为,【规律方法】 1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值. 2.随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率,即通过

9、大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.,【变式训练】1.给出下列命题,其中正确命题有 个. 有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品; 做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率是 ; 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 【解析】错,不一定是10件次品;错, 是频率而非概率;错,频 率不等于概率,这是两个不同的概念. 答案:0,2.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)

10、与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示:,这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米. (1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量: (2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.,【解析】(1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物 株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作 物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株,列表如下:,所种作物的平均年收获量为 (2)由(1)知，P(Y51) ，P(Y48) . 故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为 P(Y48)P(Y51

11、)P(Y48),【加固训练】A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:,(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率. (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间内的概率. (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们如何选择各自的路径.,【解析】(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人,因此用频率估计相应的概率为0.44. (2)选择路线L1的有60人,选择路线L2的有40人,故由调查结果得出的频率为:

12、,(3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分 别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知:P(A1)=0.1+ 0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2),所以甲应选择L1.又因 为P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B1)P(B2), 所以乙应选择L2.,考点2 随机事件间的关系 【典例2】(1)从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了三组事件: 至少有1个白球与至少有1个黄球; 至少有1个黄球与都是黄球; 恰有1个白球

13、与恰有1个黄球. 其中互斥而不对立的事件共有( ) A.0组 B.1组 C.2组 D.3组,(2)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,判断下列各对事件是否是互斥事件,并说明理由. 恰有1名男生和恰有两名男生; 至少有1名男生和至少有1名女生; 至少有1名男生和全是男生; 至少有1名男生和全是女生.,【解题提示】(1)对立事件是在互斥的基础之上,在一次试验中两个事件必定有一个要发生.根据这个定义,对各选项依次加以分析,不难得出符合题意的答案. (2)判断两个事件是否为互斥事件,就是考虑它们能否同时发生,如果不能同时发生,就是互斥事件,否则就不是互斥事件.,【规范解答】(1

14、)选A.对于,“至少有1个白球”发生时,“至少有1个黄球”也会发生,比如恰好一个白球和一个黄球,故中的两个事件不互斥. 对于,“至少有1个黄球”说明有黄球,黄球的个数可能是1或2,而“都是黄球”说明黄球的个数是2,故这两个事件不是互斥事件. “恰有1个白球”与“恰有1个黄球”,都表示取出的两个球中,一个是白球,另一个是黄球.故不是互斥事件.故选A.,(2)是互斥事件.理由是:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,它与“恰有两名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件. 不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果

15、.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果,当事件“有1名男生和1名女生”发生时两个事件都发生了.,不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生. 是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果,它和“全是女生”不可能同时发生.,【互动探究】第(1)题条件不变,根据摸出的结果写出三对对立事件. 【解析】至少有1个白球与2个全是黄球; 至多有1个白球与2个全是白球; 1个白球1个黄球与两个都是白球或黄球.,【规律方法】 1.准确把握互斥事件与对立事件的概念

16、 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生. (2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.,2.判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.,【变式训练】口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状相同的小球,从中取 出2球,事件A=“取出的两球同色”,B=“取出的2球中至少有一个黄 球”,C=“取出的2球至少有一个白球”,D=“取出的两球不同色”, E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为 . A与D为对立事件;B与C是互斥事件;C与E是对立事