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1、解析几何之直线与圆知识梳理1.圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）标准方程（r0）圆心，半径一般方程（D2E24F0）圆心为(，)，半径为2.点与圆的位置关系点M（x0，y0）与圆（xa）2（yb）2r2的位置关系：（1）若M（x0，y0）在圆外，则.（2）若M（x0，y0）在圆上，则.（3）若M（x0，y0）在圆内，则.3.直线与圆的位置关系设圆C的半径为r（r0），圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：位置关系公共点个数几何特征代数特征（解的个数）相离无实数解相切dr相交24.圆的切线方程求圆的切线方程，常用两种方法：（1）代数法：将直线方程代
2、入圆的方程中，消去一个未知数（x或y），令一元二次方程的判别式等于0，求出相关参数.（2）几何法：将圆的切线方程设为一般式，根据圆心到直线的距离等于半径，求出相关参数.5.直线被圆截得的弦长的求法（1）几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|2.（2）代数法：设直线ykxm与圆x2y2DxEyF0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xMxN和xMxN，则|MN|.6.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r（Rr），两圆圆心间的距离为d.位置关系公共点个数几何特征（|O1O2|d）外离0外切1相交2内切1内含0略知一二 基
3、础过关1.圆x2y24x6y0的圆心坐标_.2.若点P（2，m）在圆x2y29外，则实数m的取值范围为.3.以线段AB：xy20（0x2）为直径的圆的方程为.4. 已知点P与两个定点O（0，0），A（3，3）的距离之比为，则点P的轨迹方程是. 易错问题5.注意一个二元二次方程表示圆的充要条件及含参数的方程中参数的符号（1）“方程x2y24mx2y5m0表示圆”的充要条件是.（2）若方程x2y2a2表示圆，则圆的半径为. 通性通法6.求圆的方程的基本方法：直接法；待定系数法.（1）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是.（2）圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是 基础过关7.
4、直线l：mxy1m0与圆C：x2（y1）25的位置关系是.8.圆C1：x2y26x4y120与圆C2：x2y214x2y140的位置关系是.9.圆心在原点且与直线x2y4相切的圆的方程是.10.直线l：3xy60被圆C：（x1）2（y2）25截得的弦AB的长等于 易错问题11.圆的切线：易忽视切线斜率k不存在的情形.过点（2，3）与圆（x1）2y21相切的直线的方程为12.两圆相切：分内切与外切两种情形.已知圆O1：x2y29与圆O2：（x3）2（y4）2m2相切，则实数m的取值组成的集合为. 通性通法13.求圆的弦长的方法：几何法，代数法.常用几何法研究圆的弦的有关问题.（1）若圆x2y22
5、x4y200截直线5x12yc0所得的弦长为8，则c的值为.（2）直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为驾轻就熟圆的方程例1.（1）圆（x1）2（y2）21关于直线yx对称的圆的方程为_（2）如图所示，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|2，圆C的标准方程为. 总结反思 求圆的方程一般有两种方法：（1） 几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，确定圆的方程时，常用到圆的三个性质：圆心在过切点且垂直于切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.（2）代数法，设出圆的方程，用待定系数法求解.练习1:
6、已知三点A（1，0），B（0，），C（2，），则ABC外接圆的圆心到原点的距离为_直线与圆的位置关系例2.（1）M（x0，y0）为圆x2y2a2（a0）内异于圆心的一点，则直线xx0yy0a2与该圆的位置关系为_ （2）已知圆x22xy22my2m10，当圆的面积最小时，直线yxb与圆相切，则b_总结反思 判断直线与圆的位置关系的方法：（1）若易求出圆心到直线的距离，则用几何法，利用d与r的关系判断.（2）若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法，联立方程后利用判断.练习2:（1）若直线l：xmy2与圆M：x22xy22y0相切，则m的值为_（2） 已知x1，x2是方程x2
7、x0的两个不同的实根，那么过两点A（x1，x12），B（x2，x22）（x1x2）的直线与圆x2y21的位置关系是.圆的切线与弦长问题例3.（1）直线xy20与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长度等于_（2）已知直线l：xay10（aR）是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A（4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|_ 总结反思 （1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.（2）处理圆的切线问题时要通过圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题.练习3:（1）平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是_（2）过原点O作圆x2
8、y26x8y200的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为.圆与圆的位置关系例4.已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相外切，则实数m. 总结反思 判断两圆的位置关系常用几何法，即两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.练习4:圆x2y26x6y480与圆x2y24x8y440的公切线的条数是.与圆有关的轨迹问题例5.已知圆x2y24上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点.（1）求线段AP的中点的轨迹方程；（2）若PBQ90，求线段PQ的中点的轨迹方程.总结反思 求与圆有关的轨迹问题时，常
9、采用以下方法：（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程.（3）几何法：利用圆与直线的几何性质列方程.（4）代入法：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式即可.练习5:已知点A（3，0），点P是圆x2y21（x1）上的一点，AOP的平分线交AP于Q，求点Q的轨迹方程. 与圆有关的最值问题1 斜率型最值问题例6.(1)如果实数x，y满足等式（x2）2y23，那么的最大值是_2截距型最值问题(2)已知实数x，y满足方程x2y24x10，求yx的最大值和最小值.3距离型最值问题(3)已知方程x2+y2+4x2y4=0，则x2+y2的最大值是4利用对
10、称性求最值(4)已知A（0，2），点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是 总结反思 求形如t的最值问题，可转化为求斜率最值的问题，即过点（a，b）和（x，y）的直线斜率的最值问题;求形如taxby的最值，转化为求动直线截距的最值：（1）数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y轴上的截距取得最值；（2）把taxby代入圆的方程中，得到关于x的一元二次方程，由0求得t的范围，进而求得最值.求形如t（xa）2（yb）2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把（xa）2（yb）2看作是点（a，b）与圆上的点（x，y）连线的距离的平方，利用数形结合法求解
11、.形如|PA|PQ|的与圆C有关的折线段问题（其中P，Q均为动点），要立足两点：（1）减少动点的个数，如求|PA|PQ|的最小值，可先求|PA|PC|的最小值，再减去半径；（2）“曲化直”，即将折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.练习6:已知实数x，y满足方程x2+y24x+1=0（1）求的最大值和最小值；（2）求yx的最大值和最小值强化练习1求过点P（3，3）且与圆x2+y2=9相切的直线的方程_2已知圆的方程是x2+y2=4，求经过圆上一点M（，）的切线方程_3过点（4，3）作圆C：（x3）2+（y1）2=1的切线，求此切线的方程_4已知M（3，0）是圆x2+y28x
12、2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是5.点P（4，-2）与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是_6已知方程x2+y2+4x2y4=0，则x+y的最大值为7由直线y=x+1上的一点向圆（x3）2+y2=1引切线，求切线长的最小值8已知圆x2+y2-4x+6y-12=0，圆内一点A（4，-2），求以A为中点的弦所在的直线方程9已知圆C：x2+y26mx2（m1）y+10m22m24=0，求证：（1）无论m为何值，圆心都在同一直线l上；（2）任一条平行于l的直线，若与圆相交，则被各圆所截得的弦长都相等10已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，求线段AB的中点轨迹方程
