《利用导数研究函数的极值（2）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利用导数研究函数的极值（2）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,复习:,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,单调性的判断方法有哪些？ 单调性与导数有何关系?,f (x)0,f (x)0,设函数y=f(x)在某个区间内可导，,如果f (x)0，则f(x)在此区间为增函数；,如果f (x)0，则f(x)在此区间为减函数；,如果f (x)=0，则f(x)在此区间为常数函数；,练习:判断函数f(x)=2x3-6x2+7的单调性。,函数的极值,函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?,观察图像：,一、函数的极值定义,如果对X0附近的所
2、有点X，都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点X0处取极大值， 记作y极大值= f(x0)；并把X0称为函数f(x)的一个极大植点。,函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点,已知 函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点，,探究 1、图中有哪些极值点和最值点？ 2、函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？ 3、最值和极值有什么联系和区别? 4、端点可能是极值点吗？,练习：课本30页A、1,(1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，而最值是对整体而言。 （2）极大值不一定比极小值大。 (3)
3、极值点不一定是最值点。,观察与思考：极值与导数有何关系？,在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。,f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,f (b)=0,结论：设x=x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在x=x0是可导的，则必有f (x0)=0,f (x)0,x1,f (x)0,f (x)0,f (x)0,二、判断函数极值的方法,x2,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 可导函数必有极值
4、； 函数的极值点必在定义域内； 函数的极小值一定小于极大值。 （设极小值、极大值都存在）； 函数的极小值（或极大值）不会多于一个。,例1 求函数 的极值。,解：定义域为R，y=x2-4,由y=0可得x=-2或 x=2,当x变化时，y, y的变化情况如下表：,因此，当x=-2时， y极大值=28/3,当x=2时， y极小值=4/3,(-，-2）,(-2，2）,(2，+）,+,+,极大值28/3,极小值 -4/3,1、求可导函数f(x)极值的 步骤：,(2)求导数f (x)；,(3)求方程f (x）=0的根；,(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格,检查f (x)在方程根左右的符号 如果左正右负
5、（+ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正（- +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；,(1) 确定函数的定义域；,2、思考与讨论：在区间-3，5上，,最小值分别是多少？-3，3上呢？,4、求可导函数y=f(x)在a,b上的最值步骤如何？,的最大值，,1、求y=f(x)在开区间（a,b)内所有使f (x）=0的点； 2、计算函数y=f(x)在区间内使f (x）=0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。,练习1,求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,+,单调递增,单调递减,所以, 当 时, f (x)有极小值,求下列函数的极值:,解:,解
6、得 列表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 .,练习1,练习2：下图是导函数 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处,(1)导函数 有极大值? (2)导函数 有极小值? (3)函数 有极大值? (4)函数 有极小值?,或,例2 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。,解：定义域为R， y=6x(x2-1)2。,由y=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1,当x变化时，y , y的变化情况如下表：,因此，当x=0时， y极小值=0,点评：可导函数,在点x0取得极值的充分必要条,件是
7、,且在点x0左侧和右侧， f (x)异号。,练习：课本30页A 2（2）,例3 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x=-1时取极大值7；当x=3时取得极小值， 求这个极小值及a、b、c的值。,练习：1、求函数f(x)=x+2sinx在区间0,2内的极值,练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值.,解: =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,当a=-3,b=3时, ,此时f(x)在x=1处无 极值,不合题意.,当a=4,b=-11时,-3/111时, ,此时x=1是极 值点.,从而所求的解为a=4,b=-11.,1、可导函数的极值点概念及与导数的关系。 2、求极值的方法步骤。 3、极值与最值的联系与区别。 4、求最值的方法步骤。 5、注意：不可导函数也可能有极值点.例如函数y=|x|,它在点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.故函数f(x)在极值点处不一定存在导数. 作业：课本30页B 1、2、4,小结,再见,
