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1、概率论与数理统计,教材： 概率论与数理统计 （第三版）浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,第一章 概率论的基本概念,随机试验 随机事件及其运算 概率的定义及其运算 条件概率 事件的独立性,1.1 随机试验(简称“试验”),随机试验的特点： 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果； 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为 E,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的
2、情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。,随机试验的例子,1.2 样本空间、随机事件,(一） 样本空间 实验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S=e；试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e. 由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件, 记为e.,例： 给出E1-E7的样本空间,（二）随机事件,定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 任何事件均
3、可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.,例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B=“两次出现同一面”=HHH,TTT C=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时” x:1000xT(小时）。 可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率. 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验
4、E2 ，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。,1.包含关系 “ A发生必导致B发生”记为AB AB AB且BA.,（三）事件之间的关系,2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”， 记作AB,n个事件A1, A2, An至少有 一个发生，记作,3.积事件 :A与B同时发生，记作 ABAB,n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An,4.差事件 ：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生.,思考：何时A-B=?何时A-B=A？,5.
5、互斥的事件 ：AB ,6. 互逆的事件 AB , 且AB ,（四）事件的运算律,1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：,例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,1.3 概率的定义及其运算,从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性,?,P（A）应具有何种性质？,?,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为
6、多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？,若某实验E满足 1.有限性：样本空间Se1, e 2 , , e n ; 2.等可能性： P(e1)=P(e2)=P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。,(一）古典概型与概率,设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有,P(A)具有如下性质：,(1) 0 P(A) 1； (2) P()1； P( )=0 (3) AB，则 P( A B ) P(A) P(B),古典概型中的概率:,例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男
7、孩,N(S)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,N(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,例 （摸求问题）设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-取到一红一白,答:取到一红一白的概率为3/5,一般地，设合中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,例 （分求问题）将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？,解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率
8、是：,例 （分组问题）30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：,例（随机取数问题）从1到200这200个自然数中任取一个；(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率.,(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25,某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”， P（A）=？,
9、?,定义 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即,(二) 频率与概率,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,频率的性质: (1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，则 fn(AB) fn(A) f
10、n(B).,实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率.,(三) 概率的公理化定义,注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义.,1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： (1) 非负性: P(A) 0； (2) 规范性: P(S)1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A
11、1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,2.概率的性质 (1) 有限可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,(3) 事件差: A、B是两个事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)P(B),(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形； (5) 互补性：P(A)1 P(A); (6) 可
12、分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) .,例 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,解: 设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,例 在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率， （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。,解:设A取到的数能被2整除; 取到的数能被3整除,故,袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放
13、回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二个人取得红球的概率是多少？,?,1.4 条件概率,若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？,已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A),若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,一、条件概率 例 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率 （3）求两次均取到红球的概率,设A第一次取到红球,B第二次取到红球,S=,A,B,A第一次取到红球,B第二次取到红
14、球,显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.,一般地，设A、B是S中的两个事件，则,?,“条件概率”是“概率”吗？,何时P(A|B)=P(A)? 何时P(A|B)P(A)? 何时P(A|B)P(A)?,概率定义 若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： P(A) 0； P(S)1; (3) 设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)
15、+. 则称P(A)为事件A的概率。,例 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,设A-从盒中随机取到一只红球. B-从盒中随机取到一只新球.,A,B,二、乘法公式,设A、BS，P（A）0,则 P(AB)P(A)P(B|A). 称为事件A、B的概率乘法公式。,乘法公式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).,例 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,三、全概率公式与贝叶斯公式,例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2
