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1、函数的极值与导数,f (x)0,f (x)0,1.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在 这个区间内f/（x） 0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数.,一、知识回顾:,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,2.求函数单调性的一般步骤,求函数的定义域;,求函数的导数 f/（x） ;,解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调递减区间.,关注用导数本质及其几何意义解决问题,3.思考： 观察下图，当t=t0时距水面的高度最大,那么函
2、数 h（t）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？,二、新课讲解函数的极值:,观察图象中，点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么的大小关系？,一 极值的定义,点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值， 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(x)的极大值 。 极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值,注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。,观察函数y=f(x)的图像,探究 1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？ 2、极大值一定比极小值大么？,函数极值是在某一点
3、附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,如图，函数 y=f（x）在x1，x2，x3，x4等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ Y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？,2.探索思考：,从而我们得出结论: 若x0满足 f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 f/(x) 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 f/(x) 在x0两侧满
4、足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.极大值与极小值统称为极值.,从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.,如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0) .因此, x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即 ; x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即,同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即 ;在x0的右侧附近只能是增函数,即 .,三、例题选讲:,例1:求y=x3/3-4x+4的极值
5、.,解:,令 ,解得x1=-2,x2=2.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.,四.探索思考:,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.,因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.,一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:,(1):如果在x0附近的左侧 f/(
6、x)0 右侧 f/(x)0 , 那么f(x0)是极大值;,(2):如果在x0附近的左侧 f/(x)0 , 那么f(x0)是极小值.,解方程f/(x)=0.当f/(x)=0时:,故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.,例2:求函数 的极值.,解:函数的定义域为,令 ,解得x1=-a,x2=a(a0).,当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:,练习1:求函数 的极值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值
7、=- 3.,例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值. (2)若 ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论k-1成立的充要条件 .,解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4, a=6.,由于当x0时, 故当x=0时, f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等价于当 时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)= 3x2-2ax-10对一切 恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.,反之,当a1时,g(x)0对一切 恒成立.,所以,a1是k-1成
8、立的充要条件.,例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值为 4,极小值为0.试确定a,b,c的值.,解:,由题意, 应有根 ,故5a=3b,于是:,(1)设a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.,(2)设a0,列表如下:,由表可得 ,即 .,又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.,练习1:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值.,解: =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,当a=-3,b=3时,
9、 ,此时f(x)在x=1处无 极值,不合题意.,当a=4,b=-11时,-3/111时, ,此时x=1是极 值点.,从而所求的解为a=4,b=-11.,第二课时,一、复习:,1.设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x) 的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函 数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极 大值与极小值统称极值.,2.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是:,(1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极大值;,(2):如
10、果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极小值.,3.理解函数极值的定义时应注意以下几点:,(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内 部的点而不会是端点.,(2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定 不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.,(3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不 一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.,(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是 有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值 点时,函数f(x)在该区间
11、内的极大值点与极小值点 是交替出现的.,(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是 充分条件.,(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.,4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利 用导数判断函数极值的基本方法.,例1:已知函数 f(x)满足条件:当x2时, ;当 x2时, ; . 求证:函数y=f(x2)在 处有极小值.,证:设g(x)=f(x2),则,故当 时,x22,由条件可知 ,即:,当 时,x22,由条件可知 ,即:,又当 时,所以当 时,函数y=f(x2)取得极小值.,为什么要加上这一步?,例3:已知: (1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点; (2)当f(x)的极大值为1、极小值为-1时,求a、b的值.,解:(1),令 ,得-ax2-2bx+a=0,=4b2+4a20,故 有不相等的两实根、,设.,又设g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a0,g(x)的图象开口 向下,g(x)的值在的右正左负,在的左正右负.,注意到 与g(x)的符号相同,可知为极小值点, 为极大值点.,(2)由f()=-1和f()=1可得:,两式相加,并注意到+=-2b/a,于是有:,从而方程 可化为x2=1,它的两根为+1和-1, 即=-1,=1.,由,故所求的值为a=2,b=0.,
