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1、3.3.2函数的极值与导数,2013年2月25日,f (x)0,f (x)0,复习:函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，,f(x)增函数,f(x)减函数,巩固：,定义域R,f(x)=x2-x=x(x-1),令x(x-1)0, 得x1， 则f(x)单增区间（，0）,（1，+）,令x(x-1)0,得0x1, f(x)单减区(0,2).,注意: 求单调区间: 1:首先注意 定义域, 2:其次区间不能用 ( U) 连接,（第一步）,解：,（第二步）,（第三步）,在x1 、 x3处函数值f(x1)、 f(x3) 与x1 、 x3左右近旁各
2、点处的函数值相比,有什么特点? f (x2)、 f (x4)比x2 、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?,观察图像：,函数的极值定义,设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；,函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值）,使函数取得极值的点x0称为极值点,（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值
3、,（2）极大值不一定比极小值大,（3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该 点的导数为0,例：y=x3,1理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 (3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值,总结,(4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1),(5)若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律
4、的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 2导数为0的点不一定是极值点,练习：,下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.,a,b,x,y,x1,O,x2,x3,x4,x5,x6,探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？,结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即: f (x)=0,f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,思考;若 f (x0)=0，则x0是否为极值点？,进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?,极大值,极小值,即: 极值点两侧单调性互异,f (x)
5、0,x1,极大值点两侧,极小值点两侧,f (x)0,f (x)0,f (x)0,探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?,x2,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,注意:(1) f(x0) =0， x0不一定是极值点,(2)只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f(x0) =0的点，再列表判断单调性,结论：极值点处，f(x) =0,因为 所以,例1 求函数 的极值.,解:,令 解得 或,当 , 即 , 或 ; 当 , 即 .,当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:,+,
6、+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;,当 x = 2 时, f (x)有极小值 4 / 3 .,变式,求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,+,单调递增,单调递减,所以, 当 时, f (x)有极小值,求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 .,求下列函数的极值:,解:,解得,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极小值 10 ;,当 x = 2 时, f (x)有极大值 22
7、 .,解得,所以, 当 x = 1 时, f (x)有极小值 2 ;,当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .,求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f(x)=0的根 （3）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,总结,例2 求函数f(x)x32x21在区间1,2上的最大值与最小值 分析 首先求f(x)在(1,2)内的极值然后将f(x)的各极值与f(1)，f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 解析 f(x)3x24x.,故f
8、(x)最大值1，f(x)最小值2. 点评 利用求最值的步骤求解 1、函数最大值及最小值点必在下面各种点之中：导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点 2、函数在区间a，b上连续是f(x)在a，b上存在最值的充分而非必要条件,变式：求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的最大值和最小值,法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理,故函数f(x) 在区间1，5内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2,法二、,解、 f (x)=2x-4,令f (x)=0，即2x-4=0，,得x=2,-,+,3,11,2,例3 已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得
9、极值，且f(1)1， (1)试求常数a、b、c的值； (2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由 解析 (1)由f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0. 又f(1)1，abc1.,点评 若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f(x0)0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数,而x10，x1.再代入f(x1)或f(x2)，得a2. a2，b0.,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,思考1. 判断下面4个命题，其中是真命题序号为
10、 。 f (x0)=0,则f (x0)必为极值； f (x)= 在x=0 处取极大值0， 函数的极小值一定小于极大值 函数的极小值（或极大值）不会多于一个。 函数的极值即为最值,有极大值和极小值,求a范围?,思考2,解析 :f(x)有极大值和极小值 f(x)=0有2实根,已知函数,解得 a6或a3,练习1： 求 在 时极值。,练习2: 若f(x)=ax3+bx2-x 在x=1与 x=-1 处有极值. (1)求a、b的值 (2)求f(x)的极值.,练习3： 已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间1,5内的最小值为2，求m的值,练习4 ： 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.,小结：,1个定义: 极值定义 2个关键： 可导函数y=f(x)在极值点处的f(x)=0 。 极值点左右两边的导数必须异号。 3个步骤： 确定定义域 求f(x)=0的根 并列成表格 用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开 区间，并列成表格由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,
