《函数的最大（小）值与导数（12）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的最大（小）值与导数（12）（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、冷水江市一中 孙祝梧,1.3.3 函数的最大(小)值与导数,必要条件,一、知识回顾:,f(a),f(b),极大值点和极小值点 统称为极值点,极大值和极小值 统称为极值,函数极值的判定定理,结合课本练习思考,极大值一定比极小值大吗？,极值是函数的局部性概念,结论：不一定,极大值,极小值,极小值,导数的应用之三:求函数最值.,在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.,二、新课引入,问：最大值与最小值可能在何处取得？,怎样求最大值与最小值？,观察极值与最值的关系：,函数的最值,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象，你能
2、找出函数y=f（x）在区间a，b上的最大值、最小值吗？,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,在闭区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.,(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),三、建构数学:,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题
3、,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).,(4)如果函数不在闭区间a,b上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.,o,x
4、,y,a,b,o,x,y,a,b,o,x,y,a,b,o,x,y,a,b,y=f(x),y=f(x),y=f(x),y=f(x),在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, 在开区间内的连续函数不一定有最大值与 最小值.,一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数,注：,求函数最值的一般方法：,例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的最大值和最小值.,法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理,四、数学运用:,例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的极值与最值,故函数f(x) 在区间1，5内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2,法
5、二、,解、 f (x)=2x-4,令f (x)=0，即2x-4=0，,得x=2。,-,+,3,11,2,例1的变式题:求函数f(x)=x2-4x+6在区间2，5内的极值和最值.,如果函数 f (x)在a, b上单调增加(减少)， 则 f (a)是 f(x)在a, b上的最小值(最大值)，f (b) 是 f (x)在a, b上的最大值(最小值)。,函数的最值一般有两种情况：,（1）,如果函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间a, b上的最大(小)值。,函数的最值一般分为两种情况：,(2)如果函数在区间(a, b)内有极值,将y=f(x
6、)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.,求函数在闭区间内的最值的步骤,求出函数 y = f (x)在(a , b)内的全部驻点和 驻点处的函数值；,(2) 求出区间端点处的函数值；,比较以上各函数值，其中最大的就是函数 的最大值，最小的就是函数的最小值。,求函数 y = x + 3 x9x在上4 , 4 的最大值和最小值。,解 (1) 由 f (x)=3x +6x9,(2) 区间端点4 , 4 处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76,(3) 比较以上各函数值，,例2,得驻点为 x1=3，x2=1,驻点处的函数值为f (3)=27, f
7、(1)=4,可知函数在4 , 4 上的 最大值为 f (4) =76，最小值为 f (3)=27,思考:你能作出函数f(x)的大致图象吗?,例3 求f(x)=x/2 +sinx在区间0,2上的最值.,例题讲解,例1 求函数 在区间 上的最大值与 最小值,解：,从表上可知，最大值是13，最小值是4,例2,解,计算,比较得,练习,P31 (1)-(4),求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。,答 案,最大值 f (/2)=/2，最小值 f (/2)= /2,最大值 f (3/4)=5/4，最小值 f (5)= 5+,最大值 f (1)=29，最小值 f (3)= 61,补充练习：,导数,导数的定义,求导公式与法则,导数的应用,导数的几何意义,多项式函数的导数,函数单调性,函数的极值,函数的最值,五、回顾小结:,求函数 在 内的极值；,1. 求 在 上的最大值与最小值的步骤:,求函数 在区间端点 的值；,将函数 在各极值与 比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值,小结,2.求函数最值的一般方法： .是利用函数性质 .是利用不等式 .是利用导数,作业,P31 6,
