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1、第三节 绝对收敛与条件收敛 一.交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S, 且,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
2、,收敛 ,数,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛 ,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,判定级数绝对收敛其实就是判定正项级数的收敛.,(2) 令,因此,收敛,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其和分别为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,( P203 定理9 ),说明: 证明参考 P203P206, 这里从略.,*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.,(P205 定理10),机动 目录 上页 下页 返回 结束,补充.,则级数,(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;,(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.,分析:, (B) 错 ;,又,C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P248 1 单,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,
