张英瑞统计学第三章

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1、第 3 章 概率、概率分布与抽样分布,3.1 事件及其概率 3.2 随机变量及其概率分布 3.3 常用的抽样方法 3.4 抽样分布 3.5 中心极限定理的应用,学习目标,了解随机事件的概念 了解概率运算的法则 理解随机变量及其概率分布的概念 了解二项分布、泊松分布 掌握正态分布的主要特征和应用 理解大数定律和中心极限定理的重要意义,3.1 事件及其概率,3.1.1 试验、事件和样本空间 3.1.2 事件的概率 3.1.3 概率的性质和运算法则 3.1.4 条件概率与事件的独立性 3.1.5 全概公式与逆概公式,一、必然现象与随机现象,必然现象（确定性现象） 变化结果是事先可以确定的，一定的条件

2、必然导致某一结果 这种关系通常可以用公式或定律来表示 随机现象（偶然现象、不确定现象） 在一定条件下可能发生也可能不发生的现象 个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定 大量观察的结果会呈现出某种规律性 （随机性中寓含着规律性） 统计规律性,十五的夜晚能看见月亮？,十五的月亮比初十圆！,二、试 验(experiment),对试验对象进行一次观察或测量的过程 掷一颗骰子，观察其出现的点数 从一副52张扑克牌中抽取一张，并观察其结果(纸牌的数字或花色) 试验的特点 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验

3、的确切结果,样本空间与样本点,样本空间 一个试验中所有结果的集合，用表示 例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空间表示为：1,2,3,4,5,6 在投掷硬币的试验中，正面，反面 样本点 样本空间中每一个特定的试验结果 用符号表示,事件(event),事件：试验的每一个可能结果(任何样本点)组成的集合 掷一颗骰子出现的点数为3 用大写字母A，B，C，表示 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件 掷一颗骰子可能出现的点数,事件(event),简单事件：不能被分解成其他事件组合的基本事件 抛一枚均匀硬币，“出现正面”和“出现反面” 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示 掷一颗骰子出现的点数小于

4、7 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示 掷一颗骰子出现的点数大于6,二、随机事件的概率,概率 用来度量随机事件发生的可能性大小的数值 必然事件的概率为1，表示为P ( )=1 不可能事件发生的可能性是零，P( )=0 随机事件A的概率介于0和1之间，0P(A)1 概率的三种定义，给出了确定随机事件概率的三条途经。,1、概率的古典定义,古典概型（等可能概型） 具有以下两特点 每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限） 每个试验结果出现的可能性相同 它是概率论的发展过程中人们最早研究的对象,概率的古典定义,概率的古典定义 前提：古典概型 定义（公式）,计算古典概率常用到排列组

5、合知识,三、排列与组合公式,1.乘法原理 若完成一件事情需要k个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，,做第k步有mk种方法，则完成这件事共有m1m2mk种方法。 2.加法原理 若完成一件事情共有k类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法， ,在第k类途径中有mk种方法，则完成这件事共有m1+m2+mk种方法。,排列与组合的定义及其计算公式,1.排列 从n个不同元素中任取 r(rn)个元素排成一列(考虑元素先后出现次序)，称此为一个排列，此种排列的总数记为 2.组合 从n个不同元素中任取 r(rn)个元素并成一组(不考虑元素间的先后次序)，称此为一个组合，此种

6、组合的总数记为,例1：设有50件产品，其中有5件次品，现从这50件中任取2件，求抽到的两件产品均为合格品的概率是多少？抽到的两件产品均为次品的概率又是多少？,2、概率的统计定义,当试验次数 n 很大时，事件A发生频率m/n 稳定地在某一常数 p 上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义 p 为事件A发生的概率,当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值计算概率的统计方法（频率方法）,3、 主观概率,有些随机事件发生的可能性，既不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来近似 主观概率依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小 例

7、如某经理认为新产品畅销的可能性是80 人们的经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等等，都是确定主观概率的依据,4. 概率的基本性质,非负性：对任意事件A，有 P(A) 0. 规范性： 必然事件的概率为1，即： P()=1 不可能事件的概率为0 ，即：P()=0。 可加性： 若A与B互斥，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 对于多个两两互斥事件A1，A2，An，则有： P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) 上述三条基本性质，也称为概率的三条公理。,(补充）关于概率的公理化定义,概率的以上三种定义，各有其

8、特定的应用范围，也存在局限性，都缺乏严密性。 古典定义要求试验的基本事件有限且具有等可能性 统计定义要求试验次数充分大，但试验次数究竟应该取多大、频率与概率有多么接近都没有确切说明 主观概率的确定又具有主观随意性 苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定义 通过规定应具备的基本性质来定义概率 公理化定义为概率论严谨的逻辑推理打下了坚实的基础。,互斥事件及其概率 (mutually exclusive events),在试验中，两个事件有一个发生时，另一个就 不能发生，则称事件A与事件B是互斥事件(没有 公共样本点)或称互不相容事件。,互斥事件的文氏图(Venn diagram),

9、互斥事件及其概率 (例题分析),例2.在一所城市中随机抽取600个家庭，用以确 定拥有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下 事件： A：600个家庭中恰好有265个家庭拥有电脑 B：恰好有100个家庭拥有电脑 C：特定户张三家拥有电脑 说明下列各对事件是否为互斥事件，并说明你 的理由 (1) A与B (2) A与C (3) B与C,互斥事件及其概率 (例题分析),例：同时抛掷两枚硬币，并考察其结果。恰好有一枚 正面朝上的概率是多少？,解：用H表示正面，T表示反面， 该项试验会有4个互斥事件之一发生 (1) 两枚硬币都正面朝上，记为H H (2) 1号硬币正面朝上而2号硬币反面朝上，记为H T (

10、3) 1号硬币反面朝上而2号硬币正面朝上，记为T H (4) 两枚硬币都是反面朝上，记为T T,互斥事件的加法规则 (addition law),1.若两个事件A与B互斥，则事件A发生或事 件B发生的概率等于这两个事件各自发生的 概率之和，即 P(AB) =P(A)+P(B) 2.事件A1，A2，An两两互斥，则有 P(A1A2 An) =P(A1)+P(A2) +P(An),互斥事件的加法规则 (例题分析),解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6，根据互斥事件的加法规则，得,例：抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点

11、或3点或4点或5点或6点的概率,概率的性质 (小结),非负性 对任意事件A，有 P(A) 0. 规范性 一个事件的概率是一个介于0与1之间的值，即对于任意事件 A，有0 P (A) 1 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P ( )=1； P( )=0 可加性 若A与B互斥，则P(AB) =P(A)+P(B) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有 P( A1A2 An) = P(A1)+P(A2)+P(An),事件的补及其概率,事件的补：事件A不发生的事件，称为事件A的补事件(或称逆事件)，记为A 。它是样本空间中所有不属于事件A的样本点的集合,A, A,P(A)=1- P(A)

12、,广义加法公式,对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即 P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB),广义加法公式 (事件的并或和), 事件A或事件B发生的事件，称为事件A与事件B的并。它是由属于事件A或事件B的所有样本点的集合，记为AB或A+B,广义加法公式 (事件的交或积), 事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合，记为BA 或AB,广义加法公式 (例题分析),例：一家计算机软件开发公司的人事部门最近做了一项调查，发现在最近两年内离职的公司员工中有40%是因为对工

13、资不满意，有30%是因为对工作不满意，有15%是因为他们对工资和工作都不满意。求两年内离职的员工中，离职原因是因为对工资不满意、或者对工作不满意、或者二者皆有的概率。,概率的运算法则小结 1. 加法公式,用于求P(AB)“A发生或B发生”的概率 互斥事件（互不相容事件） 不可能同时发生的事件 没有公共样本点,P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ),互斥事件的加法公式,P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),互补事件,互补事件 不可能同时发生而又必然有一个会发生的两个事件 互补事件的概率之和等于1,A,A,例如：掷一个骰子，“

14、出现2点”的概率是1/6，则“不出现2点”的概率就是5/6 。,相容事件的加法公式,相容事件 两个事件有可能同时发生 没有公共样本点 相容事件的加法公式 （广义加法公式 ）,P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ),事件的积（交）AB,事件的和（并）,条件概率 (conditional probability),在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，称为已 知事件B时事件A的条件概率，记为P(A|B),（1）条件概率,条件概率在某些附加条件下计算的概率 在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率P(A|B) 条件概率的一般公式：,其中 P(B) 0,条件概率(例题分析),例：一家超市所作的一项调查表明，有80%的顾客到超市是来购买食品，60%的人是来购买其他商品，35%的人既购买食品也购买其他商品。求： (1)已知某顾客购买食品的条件下，也购买其他商品的概率 (2)已知某顾客购买其他的条件下，也购买食品的概率,条件概率(例题分析),例：一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示 从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率,