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1、第三节 平面向量的数量积,三年27考 高考指数: 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.,1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直,是重点也是难点； 2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主.,1.两个向量的夹角 (1)夹角的定义,定 义,范 围,已知两个_向量 作 AOB=叫作 向量 的夹角（如图）.,向量夹角的范围是_,
2、 当=_时，两向量共线； 当=_时，两向量垂直，记作 （规定零向量可与任一向量 垂直）.,0或180,90,0180,非零,(2)射影的定义 设是a与b的夹角，则_叫作b在a方向上的射影. _叫作a在b方向上的射影. 射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量.当 _时，它是正值;当_时，它是负值; 当_时，它是0.,|b|cos,|a|cos,090,90180,=90,【即时应用】 (1)思考：在ABC中，向量 与 的夹角为ABC，是否正 确？ 提示：不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同.向量 与 的夹角为-ABC. (2)若|a|=5，向量a与b的夹角=60，则向量a在b方向上的
3、射影为_. 【解析】a在b方向上的射影为|a|cos=5cos60= 答案：,2.平面向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 已知两个向量a和b,它们的夹角为,把_叫作a与b 的数量积(或内积)，记作_. (2)数量积的几何意义 a与b的数量积等于_的 乘积，或_的乘积.,|a|b|cos,ab,a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos,b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos,【即时应用】 (1)已知正三角形ABC的边长为1，则 (2)已知|a|=1，|b|=2，ab=1，则向量a，b的夹角=_. 【解析】 又0180,=60. 答案：,3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非
4、零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，为向量a,b的夹角.,x1x2+y1y2=0,【即时应用】 (1)思考：若ab0，是否说明向量a和b的夹角一定为钝角？ 提示：不一定，也可能是平角. (2)已知a=(1，-1)，b=(2,4),判断下列命题的真假.(请在括号 内填“真”或“假”) |a|+|b|= ( ) 若为向量a、b的夹角，则cos= ( ) 若a(a+b),则=1 ( ) (a+b)(4a+b)=18 ( ),【解析】 故真. 真. a+b=(1,-1)+(2,4)=(2+1,4-1)， a(a+b)=(2+1)-(4-1)=-2+2=0， =1,真. a+b=(3,3),4
5、a+b=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)， (a+b)(4a+b)=36+30=18,真. 答案：真 真 真 真,4.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：ab=ba; (2)数乘结合律：(a)b=_=_; (3)分配律：a(b+c)=_.,(ab),a(b),ab+ac,【即时应用】 (1)思考：(ab)c与a(bc)相等吗？ 提示：不一定相等，ab,bc均为实数，(ab)cc，a(bc)a,所以(ab)c与a(bc)不一定相等.,(2)若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)b=0，则a与b的夹角为_. 【解析】设a,b的夹角为， (2a+b)b=0，2ab+b2=0， 2|
6、a|b|cos+|b|2=0, 又|a|=|b|0，0180， cos= =120. 答案：120,平面向量数量积的运算 【方法点睛】 1.平面向量的数量积问题类型及求法 (1)已知向量a、b的模及夹角，利用公式ab=|a|b|cos求解； (2)已知向量a、b的坐标，利用数量积的坐标形式求解.,2.利用数量积求解长度问题的方法,【例1】(1)(2011大纲版全国卷)设向量a，b满足|a|=|b|=1, ab= 则|a+2b|=( ) (2)(2011湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设 则 (3)(2011辽宁高考改编)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a (2a-b),则(a
7、+b)(a-b)=_.,【解题指南】(1)借助|a+2b|2=(a+2b)(a+2b)求解；(2)用基 向量 表示向量 (3)借助a(2a-b)=0求k，进而 求(a+b)(a-b).,【规范解答】(1)选B.|a+2b|2=a2+4ab+4b2=12+4( )+ 412=3， |a+2b|= (2)由题意画出图形如图所示，取基底 结合图形可得 答案：,(3)2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)， 由a(2a-b)得a(2a-b)=10+(2-k)=0, k=12,b=(-1,12),(a+b)(a-b)=a2-b2 =(22+12)-(-1)2+122=-140. 答案：-1
8、40,【互动探究】若本例(2)题条件改为“若D、E分别为边BC、AC 的中点”，又该如何求 【解析】D、E分别为BC、AC的中点，,【反思感悟】平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角；二是利用坐标来计算.对于第一种形式，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.,【变式备选】在ABCD中，AC为一条对角线，若 则 =_. 【解析】 答案：8,平面向量的垂直问题 【方法点睛】两向量垂直的判断方法及应用 (1)若a,b为非零向量，则abab=0；若非零向量a=(x1,y1), b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0. (2)一
9、对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径. 【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题.,【例2】已知 若AOB是以O为 直角顶点的等腰直角三角形，求向量b. 【解题指南】设出向量b=(x,y)，利用 列出方程组，求出b.,【规范解答】方法一：设向量b=(x,y),则 =a-b 由题意可知, 从而有：,方法二：设向量b=(x,y)，依题意， 则(a-b)(a+b)=0， |a-b|=|a+b|， 所以|a|=|b|=1,ab=0. 所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量，,【反思感悟】坐标表示下的平行
10、和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题.化形为数，从而使向量问题数字化.,【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)、 B(2,3)、C(2,1). (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足 求t的值.,【解析】(1)由题设知 =(3,5), =(-1,1), 则 + =(2,6), - =(4,4)， 所以 故所求的两条对角线的长分别为,(2)由题设知： =(2,1)， -t =(3+2t,5+t). 由( -t ) 得( -t ) =0， 即(3+2t,5+t)(-2,-1)=0, 从而5t=-11,所以,利用数量积解
11、决夹角问题 【方法点睛】利用数量积求向量夹角的方法 (1)利用向量数量积的定义 其中两向量夹角的范 围为0180，求解时应求出三个量：ab,|a|,|b|或 者找出这三个量之间的关系. (2)利用坐标公式，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则,【提醒】ab000(0)是为锐角(钝角)的必要而不充分条件.,【例3】(1)(2011湖北高考)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b与a-b的夹角等于( ) (2)(2011浙江高考)若平面向量 满足| |=1,| |1， 且以向量 为邻边的平行四边形的面积为 则 与 的夹 角的取值范围是_.,【解题指南】(1)先求出2a+b、a
12、-b的坐标，再用夹角的坐标公式求夹角. (2)利用平行四边形的面积可得出sin的范围，进而求出夹角的范围.,【规范解答】(1)选C.2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)， a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3)， (2a+b)(a-b)=30+33=9, |2a+b|= |a-b|=3,设夹角为, (2)由S=| | |sin=| |sin= 可得， 答案：,【互动探究】若将本例(1)题干中向量a改为(1，k)，k-1，且2a+b与a-b的夹角为锐角，则如何求实数k的取值范围？ 【解析】2a+b=(3,2k-1),a-b=(0,k+1)， k-1,2a+b、a-b均不是零向量
13、，且夹角为锐角，(2a+b)(a-b)0， 即(2k-1)(k+1)0,k-1或 当2a+b与a-b共线时，3(k+1)-(2k-1)0=0, k=-1,又k-1,2a+b与a-b不共线， 故k的取值范围为：k-1或,【反思感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cos,进而求，要注意0,.,【变式备选】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cos，sin)，O为 坐标原点， (1) 求sin2的值. (2)若 且(-,0),求 与 的夹角.,【解析】(1) =(cos,sin)-(2，0)=(cos-2,sin), =(cos，sin)-(0，
14、2)=(cos，sin-2)， =cos(cos-2)+sin(sin-2) =cos2-2cos+sin2-2sin=1-2(sin+cos)=,(2) =(2,0), =(cos,sin)， + =(2+cos,sin)， | + |= 即4+4cos+cos2+sin2=7, 4cos=2即 -0, 又 设为 与 的夹角，,【满分指导】平面向量主观题的规范解答 【典例】(12分)(2011陕西高考)叙述并证明余弦定理. 【解题指南】利用向量数量积证明，由 把 展开利用 代入，即可证 明.,【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边 的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在 ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，有a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC. 4分 证明：如图，,
