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1、聚焦核心概念、思想方法的数学课堂教学设计,人民教育出版社 章建跃 ,一、我们面临的现实,课改迅猛推进 亟待解决的问题多多：新课程提倡的理念难把握；新教材的改革设计难适应；教学方式、学习方式的变革难跟上；课程改革与考试评价制度的改革不配套；等。,二、教学层面的问题,课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”。学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱。 我国数学教学质量滑坡的现象并没有随课改
2、而得到改观，而是越来越严重了。,例1 与0向量相关的细枝末节,怎样表示0向量？ 0向量的长度为什么为0，方向任意？ ab，bc，那么ac吗？ 零向量与零向量相等吗？ a=b 则ab，对吗？ ab，则a与b方向相同或相反，对吗？ 学生的精力和时间被大量浪费。,例2 “平方根”中的不当问题,是近似值，无法在数轴上表示准确。 带根号的数和分数统称实数。 数轴上任意两点之间都有无数个点。 若a|b|，则a2b2。 的整数部分和小数部分分别是m，n，求mn。,三、教师层面的问题分析,对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准，特别是对中学数学核心概念和思想方法的体系结构缺乏必要的了解； 对中学
3、数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高； 只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数；,对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性； 缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法，往往感到教学问题的存在而不知其所在，或者发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及其根源也找不出解决问题的有效方法； 采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。,四、努力的方向专业化,数学学科的专业素养 有较好
4、的数学功底（教好数学的前提是自己先学好数学），对数学内容所反映的思想、精神有深入的体会和理解；懂得哪些数学知识对学生的发展具有根本的重要性；具有揭示数学知识所蕴含的科学方法和理性思维过程的能力和“技术”；等。,教育学科的专业素养： 一个人的可持续发展，不仅要有扎实的双基，而且要有积极的生活态度、主动发展的需求、终身学习的愿望、热情、能力和坚持性、健康向上的人生观和价值观。教师在这些方面对学生的影响力，就是教师的教育学科专业素养的最重要指标。,“两个素养”的结合,善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削枝强干；对数学知识中蕴含的价值观资源特别敏感，有挖掘这些资源并用与学生身心发展相适应的方式表述
5、的能力，使数学知识教学与价值观影响有机整合；方法多样、有趣味、少而精；能有效激发学生的学习兴趣，发挥学生学习的主动性、积极性，使学生有效学习、主动发展，使他们不仅学业成就得到提高，而且发展均衡。,五、课堂教学改革 抓手在那里,构建反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认知规律的中学数学核心概念、思想方法结构体系，并使核心概念、思想方法在数学课堂中得到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手。因为使学生真正领会和把握数学概念的核心，领悟概念所反映的数学思想方法，学会数学地思维，才能形成功能强大的数学认知结构，切实发展数学能力，提高数学素养。,例3 向量的核心思想,引
6、进一个量，必须要有运算向量如果没有运算就只是一个路标； 类比数及其运算，提出和研究向量运算以加法和乘法的定义为出发点； 特例：向量与数的运算； 引进一种运算，就要研究运算律结合律、分配律、交换律等；,向量及其运算的几何意义： 数乘向量直线的向量表示，与数轴对应； 向量加法平面的向量表示，平面向量基本定理； 数量积与几何度量、位置关系相关；,向量法中学阶段学习向量的主要目的是用向量方法解决几何问题核心思想是“三步曲”。 向量法是坐标法的返璞归真。例如，根据条件建立适当的坐标系恰当选择基向量。,例4 代数的核心概念、思想方法,有系统、有效力地运用数系的加、乘和指数运算的运算律，去解决各种各样的代数
7、问题： 各种式（整式、分式、根式等）的运算用运算律进行“等价变换”； 方程未知数、已知数之间的特定代数关系；解方程由代数方程式确定其中的“未知数”的值；,解方程的基本原理：运算律对任何数都成立（通性），所以对“未知数”也成立、可用。有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数化未知为已知。 一元一次方程是基础，其它都设法向它转化。 许多问题是在引进字母表示数时才水到渠成地提出来的从处理单个的数到处理一类问题。,从代数式（符号代表数）、方程（符号代表未知数）到函数（符号代表变数）是一个飞跃，这是看问题角度的根本变化从变化过程中考察规律，函数是研究变化规律的。 一次函数y=kx+b的变化规
8、律由谁反映不仅明确x，y的意义，而且明确k，b的意义变化规律由k，b决定。 其他函数也类似。,六、基于概念的核心、思想方法的教学设计框架,1教学设计的基本线索 概念及其解析（概念的核心）； 目标和目标解析； 教学问题诊断（达成目标已有条件和需要的新条件的分析）； 教学过程设计； 目标检测的设计。,2概念和概念解析,概念：内涵和外延的准确表达； 概念解析：重点是在揭示内涵的基础上说明概念的核心之所在；对概念在中学数学中的地位的分析，对内容所反映的思想方法的明确。在此基础上确定教学重点。,例5 “三线八角”概念的核心,定义： “两条直线”被“第三条直线所截”，得到八个角。 对顶角、内错角、同位角、
9、 同旁内角，都是关于一对角 的位置关系； 关键是：根据结构特征进行分类。,例6 一元二次方程,知识：概念（未知数、系数）；解法和公式通法；判别式解的情况（通性）；根与系数的关系通性。 思想方法：等价转化（配方法）；化归思想：二次化一次（因式分解、开方等运算）；对方程的根、系数之间关系进行研究的思想方法论层次。,例7 二元一次不等式与平面区域,知识点：用平面区域表示二元一次不等式；操作步骤。 核心：坐标法；化归思想：二维化归为一维（直线的“左上方”“右下方”“左下方”“右上方”的解析含义）。,3目标和目标解析,目标：用“了解”“理解”“掌握”及相应的行为动词“经历”“体验”“探究”等表述目标；
10、目标解析：对“了解”“理解”“掌握”以及“经历”“体验”“探究”的含义进行解析，一般的，核心概念的教学目标都应进行适当分解。,例8 二元一次不等式与平面区域,1.知识目标 （1）了解二元一次不等式的实际背景和几何意义。 （2）能正确的画出给定的二元一次不等式表示的平面区域。 2.能力目标 （1）培养学生观察、联想以及作图的能力。 （2）渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 3.情感目标 体会数学来源于实际问题，培养学生用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣。,例9 “三线八角”的教学目标,目标： 识别同位角（课标）。 目标解析： “识别”的含义：正确地分析图
11、形的结构特征，从中找到“两条直线”和“第三条直线”，确定角的关系（同位角、内错角、同旁内角）。 以“结构特征”为依据，对角进行分类，确定角的特定关系的思想方法。,例10 一元二次方程的解法,目标：掌握一元二次方程的解法。 解析：（1）能用具体的方法，如开方法、因式分解法、配方法、公式法等解方程；（2）能用等价转化（如x2=a、(xx1) (xx2)=0等）、化归（通过代数运算转化方程，化未知为已知）等探究一元二次方程的解。,例11 一元二次方程根的判别式,目标：掌握一元二次方程根的判别式。 解析：对“掌握”的内涵作具体界定。 （1）在用配方法推导求根公式的过程中，理解判别式的结构和作用； （2
12、）能用判别式判断数字系数的一元二次方程根的情况； （3）能用判别式判断字母系数的一元二次方程根的情况； （4）能应用判别式解决其他情境中的问题。,例12 根与系数的关系,目标：掌握一元二次方程根与系数的关系。 解析： （1）提出问题的方法根的个数、符号、根和根之间的关系、根和系数的关系（根由系数唯一确定、具体关系的探究）、由根作新的方程（解方程的反问题）、根多项式的因子； （2）通过运算所发现的规律代数的基本方法；等等。,教学目标的三层级模型,第一层级 主成分：以记忆为主要标志, 培养的是以记忆为主的基本能力。 测试：基本事实、方法的记忆水平。 标准：获得的知识量以及掌握的准确性。,第二层级,
13、主成分：以理解为主要标志，培养的是以理解为主的基本能力； 测试：能否顺利地解决常规性、通用性问题，包括能否满意地解决综合性问题； 标准：运用知识的水平，如正确、敏捷、灵活、深刻等。,第三层级,主成分：以探究为主要标志，培养以评判为主的基本能力； 测试：能否对解决问题的过程进行反思，即检验过程的正确性、合理性及其优劣； 标准：思维的深刻性、批判性、全面性、独创性等。,4教学问题诊断分析,教师根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析。在上述分析的基础上指出教学难点。,例13 二元一次不等式与平面区域的难点 现实
14、问题数学化； 思想方法层面二元一次不等式的平面区域表示方法的探究。,例14 “三线八角”中的难点,学生初次接触平面几何关于位置关系、大小度量的讨论，在思想方法上存在困难外，对于认识几何问题的一般程序也存在困难。复杂的图形会使学生感到无从下手。 教学难点：对图形结构特点的理解并正确地对角分类；在具体（变式）图形中正确找出有关的角。,B和BCE可以看成是直线 ， 被直线 所截得的 角；B和BCD可以看成是直线 ， 被直线 所截得的 角。 B E A C D,例15 一元二次方程中的难点,真正的难点还是在思想方法上：等价转化（配方法）；化归思想：二次化一次（因式分解、开方等运算）；对方程的根、系数之
15、间关系进行研究的思想如何提出研究的问题；分类讨论思想。 具体操作上：由平方根概念所附带产生的难点。,4教学支持条件分析,为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，分析应当采取哪些教学支持条件，以帮助学生更有效地进行数学思维，使他们更好地发现数学规律。当前，可以适当地侧重于信息技术的使用，以构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境。,5教学过程设计,强调教学过程的内在逻辑线索； 给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法的领悟过程分析； 以“问题串”方式呈现为主，应当认真思考每一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要概括的概念要点、思想
16、方法，需要进行的技能训练，需要培养的能力，等； 根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设计，合作交流式教学设计，等。,例16 二元一次不等式与平面区域,问题1 一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12，从个人贷款中获益10，那么，信贷部分应该如何分配资金呢？ （1）在这个问题中，有哪些不等关系？ （2）怎么刻画问题中存在的一些不等关系？ （3）怎样找到这个不等关系的解？,问题2 二元一次不等式xy6解集表示怎样的点集？它们组成怎样的图形？ 对用平面区域表示的理由的追究。 引导语： 不在直线上的点都不满足等式xy=6，即只要点（x，y）不在直线上，那么它的坐标就一定满足
