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1、第 二 章,极限与连续,1 数列的极限2 函数的极限3 无穷小量与无穷大量4 极限的运算法则5 极限存在准则和两个重要极限6 函数的连续性,基本要求,1、了解数列的概念及性质;2、了解数列极限与函数极限的概念及几何意义;2、掌握极限的性质及四则运算法则;3、掌握极限存在准则，并会利用它们求极限;4、掌握利用重要极限求极限的方法;5、理解无穷小量与无穷大量的概念;6、了解函数的连续性概念,会判别函数的连续性;7、掌握闭区间上连续函数的性质.,1 数列的极限,1.1 数列的概念,定义1 无穷多个按照一定顺序排列的数,数列中的每一个数称为,几个数列的例子：,(2),数列的项,第n项,称为数列的通项或
2、一般项.,(3),(5),(4),它依次取数轴上的点,在几何上, 数列,可看作数轴上的一个动点,1.2数列的简单性质,一、单调性,单调递增和单调递减数列统称为单调数列.,那么称数列为单调递减数列.,二、有界性 如果存在M0,对于任何正整数n ，恒有,那么称数列,如果数列所有的项都不超过某一个常数，即,如果数列所有的项都不小于某一常数，即,为有界的；否则称为无界的.,1.3 数列的极限,一、 数列极限的定义,由观察可知,如果数列没有极限,就称该数列是发散的.,时收敛于a,观察前面所举数列的例子, 不难看出：,无限地趋近于某一个常数a ，就称数列,当,记作,趋势不定,收 敛,发 散,例如,例：求下
3、列数列的极限,(2)原式 = 5.,极限的定义.,下面用精确的、定量化的数学语言来给出数列,接近程度,用,来表示n无限增大 .,先说明在数学上如何刻划“无限接近”与“无限增大” ：,(不论它多么,定义,如果对于任意给定的正数,e,小),存在正数N,不等式,都成立,那末就称常数a是数列,的极限,记为,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,例1 用数列极限的定义证明,只要,从而可取正整数,由极限的定义得,几何解释,面的点只有有限个(至多只有N个).,而在这区间外,设,其几何意义为:,1.4 收敛数列的性质,1.唯一性,2.有界性,由定理2可得无界数列必定发散.,注意有界性是数列收敛的必要条件,非充
4、分条件.,2 函数的极限,2.1 自变量趋于无穷大时,函数 f (x) 的极限,趋于无穷大，实际上包括三种情形： 取正值无限增大； 取负值而 无限增大; 既可取正值,也可取负值,而 无限增大.,(1) x 时,函数 f (x) 的极限,例：观察,当 x绝对值 无限增大时，容易看出， f (x) 无限接近于定数 0 .,的极限，记作,或,或,正无穷大时函数f(x) 的极限，记作,趋向于某一个常数A，那么我们就称A为当x趋向于,(2)自变量 x + 时,函数 f (x) 的极限的描述：,几何意义：,(3),对于自变量无限减小时函数的变化趋势，讨论类似.,例如,由图可见,y = 2x,例,2.2自变
5、量趋于有限值时函数的极限,或,或,无限接近于常数A.,则称函数 当 时以A为极限,记作,或,恒有,得一带形区域 ,则总可以,内函数的图形,完全位于这两条直线之间。,例：求极限,解：,当自变量 x 从 x0 的右侧趋近于 x0 时，函数 f (x) 无限趋近常数 A，则称 A 为 x x0 时函数 f (x) 的右极限。记为：,或 f ( x0 0 ) = A,或 f ( x0 + 0 ) = A,2.3 单侧极限,当自变量 x 从 x0 的左侧趋近于 x0 时，函数 f (x) 无限趋近常数 A，则称 A 为 x x0 时函数 f (x) 的左极限。记为：,左、右极限统称为单侧极限。,例：函数
6、,不存在。,例3 求函数,由于,解当,同理,例：讨论 在 x = 0 处的极限情况。,解：当 x 0时， f（x）= 1， 当 x 0 时， f（x） = 1. f（0 0）= 1， f（0 + 0）= 1故 f（x）在 x = 0 处的极限不存在。,1.唯一性,2.4函数极限的性质,2.局部有界性,3.局部保号性,3 无穷小量与无穷大量,3.1 无穷小量与无穷大量,时的无穷小量,简称为无穷小。,即 以零为极限的变量,称之为无穷小.,(1)无穷小量的定义,注1：无穷小量是就自变量的变化过程而言的。 它不是一个很小很小的数，而是极限为 0 的变量。注2：数 0 是无穷小量。,定理：lim f (
7、x) = A 的充分必要条件是函数 f (x) 可以表示为常数 A 与无穷小量 之和.即有,(2)无穷小与函数极限之间的关系,(3) 无穷大量的定义,注：无穷大量是就自变量的变化过程而言的。 它不是一个很大很大的数，而是极限为 的变量。,在自变量的某一变化趋势下，若函数 f (x) 的绝对值无 限地增大，则称 f (x) 为无穷大量。记为 lim f (x) = 或 f (x) .,在自变量的同一变化趋势下，无穷大量的倒数是无穷小量； 无穷小量（0）的倒数是无穷大量。,(4) 无穷大量与无穷小量的关系,3.2 无穷小量的运算性质,推论 (1) 常数与无穷小量的积仍为无穷小量。 (2) 有限个无穷小量的积仍为无穷小量。,解： 当 x 0 时，x 是无穷小量；,定理3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理4 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。,3.3无穷小的比较,为了比较两个无穷小趋向于零的“快慢”,我们引入无穷小阶的概念:,关于等价无穷小的替换性质:,存在，则,例3求,从而有,1.(2)(3)(5)(6)(8);2. (1)(4)(5)(6) (8),3.(2)(4);4.,P48 一、极限,作业,
