高等数学B1第39节定积分元素法定积分在几何上的应用

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1、1、 定积分思想方法复习2、 定积分元素法3、平面图形的面积4、体积5、平面曲线的弧长6、小结第第 39节节 定积分元素法定积分元素法定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用高 等 数 学Higher mathematic 1定积分的思想和方法分割 化整为零求和 积零为整取极限 精确值 定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限2回顾 曲边梯形求面积的问题一、问题提出a b xyo3面积表示为定积分的步骤 :（ 3）求和，得 A的近似值4a b xyo（ 4）求极限，得 A的精确值提示面积元素56二、元素法的一般步骤：该方法通常叫做 元素法 也称 微元法 .应用方向：1)几何：平面图形的面积、体

2、积、平面曲线的弧长； 2)物理：功、水压力、引力和平均值等。7曲边梯形的面积 曲边梯形的面积1、直角坐标系情形三、平面图形的面积8解 两曲线的交点面积元素选 为积分变量9解 两曲线的交点选 为积分变量10于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题： 积分变量只能选 吗？11解 两曲线的交点选 为积分变量12如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积13解 椭圆的参数方程由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积14面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形15解 由对称性知总面积 =4倍第一象限部分面积16解利用对称性知17 旋转体 就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体

3、这直线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台1、旋转体的体积四、体积18xyo旋转体的体积为19解 直线 方程为2021解2223解2425补充利用这个公式，可知上例中26解体积元素为272、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算 .立体体积28解 取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积29解 取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积30思考题31思考题解答交点立体体积321、概念五、平面曲线的弧长33弧长元素 弧长2、直角坐标情形34解所求弧长为35解36曲线弧为弧长、参数方程情形37解 星形线的参数方程为根据对称性 第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长38证39根据椭圆的对称性知故原结论成立 .40曲线弧为弧长、极坐标情形41解42解43六、考题选讲44、元素法的提出、思想、步骤 .微元法本质：近似意义下的 “和式 ”极限。小结、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积 .注意：恰当的 选择积分变量 有助于简化积分运算。45、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积绕 轴旋转一周绕 轴旋转一周绕非轴直线旋转一周、平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下、弧微分的概念、求弧长的公式46再见！47