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1、第二节 数列的极限,一、概念的引入,二、数列与极限的定义,三、数列极限的性质,有很多实际问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的 ，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了极限概念和极限方法。例如，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可
2、割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥
3、细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 边形的面积,公元3世纪刘徽（约225-295）,公元5世纪祖冲之（约225-295）,最新成果,_,2、截丈问题：,“一尺之棰，日取其半，万世不竭”,二、数列与极限的定义,例如,注意：,2.数列对应着平面上一个点列.可看作一动点在平面上依次取,1.数列是函数,数列的几何意义,对于数列,我们不能写出它的所有各项,因此有必要考察它的变化趋势,对于简单的例子
4、而言，根据上面给出的极限概念，可以凭观察来判断它们是否存在极限。但是数列并非总是这样简单的，仅凭观察来判断数列的变化趋势很难做到总是准确，特别是在进行涉及到极限的论证时，更不能以观察的结果作为推理的依据。因为在定义中怎样才算“无限增大”和“无限接近”是不清楚的。因此有必要寻求精确的数学语言来对数列的极限加以定义，以便可对数列的极限进行严格的验证。,播放,问题： “无限增大” “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?,极限的直观定义,直观结论,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注1.,注2.,注3.,几何解释:,直观定义,严格定义,注意：,数列极限的定义未给出求极限的方法,但我们可以用
5、定义来证明极限的存在。,例1,证,所以,于是按极限定义得,注意: 关键是找N,一旦N找到，就证明完了,例2,证,于是按极限定义得,例2(备用),证,于是按极限定义得,例3,证,要使,只要,即,亦即,因此,于是按极限定义,美国的一套著名的微积分教材中 告诉学生，如果弄不懂这样的定义，“就像背一首诗那样把它背下来！这样做，至少比把它说错来得强”,四、数列极限的性质,1、有界性,例如,有界,无界,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,虽有界但不收敛 .,数列,说明: 此性质反过来不一定成立 .,例如,2、唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质:有界性、唯一性、,
