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1、本章要点： （1）物体系统平衡问题的求解,基本问题：,第4章 平面任意力系,（1）平面任意力系的简化；,（2）平面任意力系的平衡条件及其应用；,（3）静定与静不定问题.,第4章 平面任意力系,引 例,1.力的平移定理,M=F. d=MB(F), 可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。,4-1 平面任意力系向作用面内一点的简化,图示两圆盘运动形式是否一样？,2.平面任意力系向作用面内一点的简化 主矢和主矩,力线平移,合成汇交力系,合成力偶系, 平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系
2、的主矢，作用线通过简化中心; 这个力偶矩等于力系对于简化中心O点的主矩.,主矢与简化点O位置无关,主矩与简化点O位置有关,a. 平面任意力系简化为一个力偶的情形, 因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。,3.平面任意力系的简化结果分析,b. 平面任意力系简化为一个合力的情形,合力的作用线通过简化中心,c. 平面任意力系简化为一个力和一个力偶的情形,MO(FR) = FRd = MO = MO(Fi) MO(FR) = MO(Fi),平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和。, 合力矩定理,原力系平衡,d . 平
3、面任意力系平衡的情形, 平面任意力系平衡的必要条件,平衡方程,平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。,例 1:,固定端约束,既不能移动，又不能转动的约束 固定端约束,利用平面力系的简化结果，将端部的分布 力向端部的一点A点简化，得FA、MA。,例 2,已知：M=Pa,求：A、B处约束反力。,解： （1）取刚架为研究对象,解上述方程，得,（2）画受力图,（3）建立坐标系，列方程求解,4-2 平面任意力系的平衡条件及其应用,一、平衡条件及平衡方程：,平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代
4、数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。,平衡方程,2. 二力矩式,三个方程并不一定独立。,应用条件：,A、B的连线不能垂直于 x 轴。,应用条件：,A、B、C三点不能共线。,二、平衡方程其它形式及应用条件：,三、特殊平面力系的平衡条件及平衡方程：,1 平面平行力系,若取y 轴与力系中作用线平行，则有：,因而平面平行力系的平衡充要条件或平衡方程为：,2 平面汇交力系,若汇交力系交点为矩心O，则有：,因而平面汇交力系的平衡充要条件或平衡方程为：,（A、B两点的连线不得与各力平行）,二力矩式,例 2,已知：M=Pa,求：A、B处约束反力。,解 法 2,解上述方程，得,解 法 3,解
5、上述方程，得,解上述方程，得,解：取三角形板ABC为研究对象,解：,曲梁AB受荷载F1、F2、M 作用，已知：F1=200N，F2=400N，M = 600Nm。求A、B处的约束反力。,曲梁AB 研究对象,方向如图,方向如图,方向如图,注意: (1)力偶在任一轴的投影值为零; (2)力偶对任一点矩等于其力偶矩。,例 题 4,解：取起重机为研究对象,（1）满载时，其限制条件是：FNA0,（2）空载时，其限制条件是：FNB0,因此，P2必须满足：,解：,细杆AB 搁置在两互相垂直的光滑斜面上，如图所示。已知：杆重为P，重心C 在杆AB的中心，两斜面的几何关系如图。求：杆静止时与水平面的夹角和支点
6、A、B 的反力。,细杆AB 研究对象,设杆AB长 l ,取图示坐标系。,（1）,（2）,（3）,由式（1）和（2）得,将上述结果代入（3）得,即：,例 题 6,补充: 分布载荷的合力,dP=q(x)dx,合力大小：,由合力之矩定理：,合力作用线位置：, 两个特例,(a) 均布载荷,(b) 三角形分布载荷,例 题7：,解：,均匀分布载荷 q =4kN/m ，自由端B作用有集中力F = 5kN，与铅垂线夹角=25，梁长 l = 3m。求固定端的反力。,梁AB 研究对象,受力分析,（注意：约束反力偶 MA，等效集中力Q。）,列方程求解,转向如图,实际方向与图中相反,方向如图,4 -3 刚体系统的平衡
7、,二、刚体系统,刚体系是指若干个刚体用约束联结起来的系统。,刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，若将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。,刚体系平衡时，系中每一个刚体都处于平衡，根据刚化原理，可将刚体系整体或部分刚化为一个刚体，同样处于平衡状态，其求解过程和求解单一刚体平衡问题的步骤基本相同。,若刚体系统由n1个受平面任意力系作用的刚体，n2个受平面汇交力系或平面平行力系作用的刚体以及n3个受平面力偶系作用的刚体组成，那么系统可能有的独立平衡方程数目在一般情况为：,m=3n1+2n2+n3 （个）,刚体系统平衡问题的独立平衡方程数目：,设刚体系统有 n 个刚体 组成，每个刚体上所作用
8、的力系均平面任意力系，则系统所具有的独立平衡方程数为：,m=3n （个）,静定问题：系统的未知量数 系统所具有的独立平衡方程数目,静不定问题：系统的未知量数 系统所具有的独立平衡方程数目,三、静定与静不定概念,系统中多余未知的个数 称为静不定次数,为了使结构具有更高的强度、刚度和稳定性，工程实际中多采用静不定结构，能更经济的利用材料，也更安全可靠。,四、刚体系平衡问题求解步骤和特点：,3、适当选取坐标轴,解得:,解：(1)取整体为研究对象,解上述方程，得,(2)取AB为研究对象,代入（3）式得,求：A、E的约束 反力和BC杆内力。,例 题 9,解：(1) 取整体为研究对象,解得：,(2) 取曲
9、杆CD为研究对象,解得：,解：,图示组合梁，已知：q，P，a。求：A，C支座的反力及中间铰链B处的压力。,（1） 梁BC,（1）,（2）,（3）,由此求得：,例 题10：,（2） 梁AB,（4）,（5）,（6）,由此求得：,转向如图,方向如图,求 FAx、FAy、MA 也可以整体为研究对象,（3） 整体,（7）,（8）,（9）,由此求得：,讨论：,（1）列出9个方程，仅有6个方程独立。,（2）对分布力，先拆后用等效集中力代替。,（3）固定端约束反力。,基本部分：单独可承载并能平衡的部分；,附属部分：不可单独承载部分。,选取顺序：先附属部分，后基本部分。,附属部分,基本部分,附属部分,基本部分,
10、基本部分,附属部分,组合梁结构研究对象的选取顺序：,基本部分,基本部分,附属部分,解: (1) 整体,三铰拱结构。已知：G1 = G2 = G = 40kN，P = 20kN，F = 10kN，图中尺寸单位为m。求固定铰支座A、B 和中间铰链C的反力。,(1),(2),(3),由（1）和（2）求得,方向如图,例 题11：,（2）左半拱,(4),(5),(6),由(4)、(5)、(6) 求得,再由（3）得,(3),Fcy实际方向与图中相反，其余各力方向如图。,讨论：,方法一、,方法二、,解：(1) 取整体为研究对象,(2) 取DEF杆为研究对象,解得：,(3) 取ADB杆为研究对象,解得：,求：
11、A、D、B的约束反力。,例 题 12,解：(1)取BC杆为研究对象,解得：,(2)取AB杆为研究对象,解得：,代入（3）式解得：,(3)取CD杆为研究对象,解得：,本章小结,力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加 力偶的 矩等于原来的力对新作用点的矩。,平面任意力系向平面内任选一点O简化，一般情况下， 可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢。 即：,作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于 点O的主矩。即：,3. 平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。,平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零， 即：,（A、B、C 三点不得共线）,（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线）,平面任意力系平衡方程的形式,基本形式：,二力矩式：,三力矩式：,5. 其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形， 其平衡方程如下：,力 系 名 称,独立方程的数目,共线力系,平 衡 方 程,平面力偶系,平面汇交力系,平面平行力系,1,1,2,2,6. 刚体系的平衡问题,作业:,4-12 、,4-16 、,4-1 ：(a) 、(c)、 (e),4-20,4-18 、,
