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1、第 1 页 版权所有 不得复制年 级 高二 学科 数学内容标题 离散型随机变量的均值与方差；正态分布（理科）编稿老师 邵珍红一、教学目标：（1）了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.（2）正态分布曲线的性质、标准正态曲线 N（0，1）二、知识要点分析：1. 数 学 期 望 ： 一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为 x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称 为 的 数 学 期 望 ， 简 称 期 望 E1x2n2. 数 学 期 望 是 离 散 型 随 机 变 量 的 一 个 特 征 数 ， 它 反 映 了 离
2、散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水平 .3. 平 均 数 、 均 值 ： 在 有 限 取 值 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 中 ，令 ，则有 ， ，所1p2np12pn1E1(x2nx1)以 的 数 学 期 望 又 称 为 平 均 数 、 均 值 .4. 期望的一个性质： baE)(5. 若 B（n， p） ，则 E=np.6. 方差：对于离散型随机变量 ，如果它所有可能取的值是 ， ， ， ， ，1x2nx且 取 这 些 值 的 概 率 分 别 是 ， ， ， ， ， 那 么 ，12np D21)(Ex2)(ExnnpE2)(称为随机变量 的均方差，简称为方差，
3、式中的 是随机变量 的期望.7. 标准差： 的算术平方根 叫做随机变量 的标准差，记作 .D8. 方差的性质：（1） ；（2） ；ab)(22)(（3）若 B（ n， p） ， 则 np（1p）.9. 随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.第 2 页 版权所有 不得复制10. 总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率
4、分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线. 位位位位位位b位位O位位/位位a它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线，可求出总体在区间（a，b）内取值的概率等于总体密度曲线，直线 x=a，x=b 及 x 轴所围图形的面积.观 察 总 体 密 度 曲 线 的 形 状 ， 它 具 有 “两 头 低 ， 中 间 高 ， 左 右 对 称 ”的 特 征 ， 具有 这 种 特 征 的 总 体 密 度 曲 线 一 般 可 用 下 面 函 数 的 图 象 来 表 示 或 近 似 表 示 ：2(),1(),(,)xxe式 中 的 实 数 、 是 参 数 ， 分 别 表 示 总 体
5、的 平 均 数 与 标 准 差 ，)0(的 图 象 为 正 态 分 布 密 度 曲 线 ， 简 称 正 态 曲 线 .,()11. 正 态 曲 线 的 性 质 ：（1）曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交.（2）曲线关于直线 x=对称.（3）当 x=时，曲线位于最高点.（4）当 x 时，曲线上升（增函数） ；当 x 时，曲线下降（减函数）.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近.（5） 一定时，曲线的形状由 确定.越大，曲线越“矮胖” ，总体分布越分散；越小曲线越“瘦高” ，总体分布越集中：12. 标准正态曲线：当 =0、=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应
6、的函数表示式是 ， （x+）21)(exf其相应的曲线称为标准正态曲线.【典型例题】知识点 1：离散型随机变量的均值例 1：已知离散型随机变量 的分布列如下表.若 ， ，则 X0EX1Da第 3 页 版权所有 不得复制， .b思路分析：按分布列的性质.解：由题知 ， ， ，解得 ，12cba061ca 12122ca25a.41b解题后的思考：按照定义去求解.例 2：在 1,3,9 这 个自然数中，任取 3个数.（I）求这 个数中恰有 1个是偶数的概率；（II）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 1,23，则有两组相邻的数 ,和 ，此时 的值是 2） 求随机变量 的分布列及其数
7、学期望 E.思路分析：解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件.解：（I）记“这 3 个数恰有一个是偶数 ”为事件 A，则1245390()CP；（II）随机变量 的取值为 0,12的分布列为0 1 2P 521所以 的数学期望为 123E解题后的思考：按照公式进行求解.例 3：某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 1，遇到红灯时停留的时间都是 2min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望.思路分析：分析清楚具体事件，特别注意随机变
8、量的可能取值.解：（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，所以事件A 的概率为 1143327P.（）由题意，可得 可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）.事件“ 2k”等价于事件“该学生在路上遇到 k次红灯” （ k0，1，2，3，4） ，第 4 页 版权所有 不得复制 ，即 的分布列是0 2 4 6 8P168381827811 的期望是 613E.解题后的思考：本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用
9、概率与统计知识解决实际问题的能力.小结：离散性随机变量的均值的意义：（1）均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.（2）E（X）是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，它描述 X 取值的平均状态.（3） ，说明随机变量 X 的线性函数 Y 的均值等于随b)(aEb( ba机变量 X 均值的线性函数.知识点 2：离散型随机变量的方差例 4：在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生在规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”.根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A. 甲地：总体均值为 3，中位数为 4
10、B. 乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 C. 丙地：中位数为 2，众数为 3 D. 丁地：总体均值为 2，总体方差为 3思路分析：根据信息可知，连续 10 天内，每天的新增疑似病例不能有超过 7 的数，选项A 中，中位数为 4，可能存在大于 7 的数；同理，在选项 C 中也有可能存在大于 7 的数；选项 B 中的总体方差大于 0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于 7 的数；选项 D 中，根据方差公式，如果有大于 7 的数存在，那么方差不会为 3，故答案选 D.解：【答案】D 解题后的思考：利用离散型随机变量的方差与期望的知识，可以解决实际问题.利用所学知识分析和解决实际问题的题
11、型，越来越成为高考的热点，应予以重视.例 5：某市出租车的起步价为 6 元，行驶路程不超过 3km 时，租车费为 6 元，若行驶路程超过 3km，则按每超出 1km（不足 1km 也按 1km 计程）收费 3 元计费.设出租车一次行驶的路程数 X（按整 km 数计算，不足 1km 的自动计为 1km）是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量.已知一个司机在某一天每次出车都超过了 3km，且一次的总路程数可能的取值是 20、22、24、26、28、30（km ） ，它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、 、4a.a3102（1）求这一天中一次行驶路程 X 的分布列，并求 X
12、 的均值和方差；第 5 页 版权所有 不得复制（2）求这一天中一次所收出租车费 Y 的均值和方差.思路分析：正确求出分布列是求均值和方差的前提.解：（1）由概率分布的性质有.1a43102.018.02，3a72，（舍去） ，10或即 a=0.03.，2.a4,8.3a102X 的分布列为：X 20 22 24 26 28 30Y 0.12 0.18 0.20 0.20 0.18 0.12)km(251382.624182)(E .649.51.31.3.5D 22（2）由已知 ，)ZX,(E)()（元） ，723.768)(D3XY( 解题后的思考：要善于使用公式 、 来简化计算.baE)
13、Da2)(小结：离散性随机变量的方差的意义：（1）D 表示随机变量 对 E（）的平均偏离程度，D越大表明平均偏离程度越大，说明 的取值越分散；反之，D 越小，表明平均偏离程度越小， 的取值越集中在 E（）附近，统计中常用标准差来描述 的分散程度.（2）D与 E一样，也是一个实数，由 的分布列唯一确定.【本讲涉及的数学思想、方法】日常生产生活中的一些问题，我们可以转化为数学问题，借助于函数、方程、不等式、概率、统计等知识解决.同时，要提高分析问题和解决问题的能力，必须关注生产和生活.【模拟试题】 （答题时间：90 分钟）一、选择题1. 数据 的方差为 ，则数据 的方差为（ ）123,.,na21
14、23,.naaA. B. C. D. 22242. 一套重要资料锁在一个保险柜中，现有 把钥匙依次分给 名学生依次开柜，但其n中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为（ ）A. B. C. D. 1n2121n第 6 页 版权所有 不得复制3. 设随机变量 服从标准正态分布 N（0，1） ，已知 (1.96)0.25，则(|196)P=A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.9754. 设每门高射炮命中飞机的概率是 0.6，今有一架飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少 99%的概率命中它 （ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 65. 已知
15、随机变量 服从二项分布 B（n，P） ，且 E=12，D =4，则 P 等于（ ）A. B. C. D. 713251416. 设离散型随机变量 ),6(，则 D（ 2）等于（ ）A. 9 B. 6 C. 30 D. 36二、填空题7. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 ，刮风的概率是 ，既刮风又下雨的154152概率是 ，设 A=“刮风”，B=“下雨”， = ； = .10 )(ABP)(BAP8. 在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N（1， 2） （0 ） ，若 在（0，1）内取值的概率为 0.4，则 在（0， 2）内取值的概率为_ .9. 某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会
