《复旦大学精品课程《线性代数》课件,子空间交、及及直及课件复习精品资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复旦大学精品课程《线性代数》课件,子空间交、及及直及课件复习精品资料（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数 子空间的交、和与直和 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-5-9 设W1,W2都是线性空间V的子空间，则其交(intersection)定义为 两个线性空间的交一定为线性子空间。 ,|x 2121 WWWW=xx 2 线性子空间的和 两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间 的并集一般不是线性子空间。 10:34 线性空间与欧几里得空间 3 则集合 也是一个线性子空间， proof 线性子空间的和 从线性子空间的和的定义很容易看出： 10:34 线性空间与欧几里得空间 4 (3) 多个子空间的和： 线性子空间的和的维数 10:34 线性空间与欧几里得空间 5 以上 4
2、个线性子空间都是 2 维的 线性子空间的和的维数(理论结果) 引理 2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩 充成该子空间的一组基。 proof proof 10:34 线性空间与欧几里得空间 6 proof 线性子空间的和的求法：例子 10:34 线性空间与欧几里得空间 7 主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组 线性子空间的和的求法：例子 10:34 线性空间与欧几里得空间 8 基础解系: 线性子空间的直和: 定义 下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形-直和. 10:34 线性空间与欧几里得空间 9 必要性是显然的, 下证充分性. 线性子空间的直和，补子空间 proof 1
3、0:34 10 proof 多个线性子空间的直和 10:34 线性空间与欧几里得空间 11 proof 命题2.1的证明 证明： 10:34 12 所以 W 是线性子空间。 back 命题 2.2 的证明 证明:由定义, 有 10:34 13 back 引理.的证明 引理 2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以 被扩充成该子空间的一组基。 证明: 10:34 线性空间与欧几里得空间 14 如果这个向量组不是W的基, 则用同样的方法扩充 线性无关的向量组, 直到不能扩充为止 最后得到W的一组基. back 定理2.4的证明 证明: 注意到 10:34 线性空间与欧几里得空间 15 注意到 只
4、要证明 线性无关 定理 2.4 的证明(2) 设 有 10:34 线性空间与欧几里得空间 16 所以 即 有 back 定理 2.6 的证明 证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。 下面证明(1)与(2)的等价性。 10:34 线性空间与欧几里得空间 17 back 定理 2.7 的证明 10:34 线性空间与欧几里得空间 18 由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时， 它的补子空间是不唯一的。 back 命题 2.8 的证明 证明: 10:34 线性空间与欧几里得空间 19 命题 2.8 的证明(2) 20 =0 所以 命题 2.8 的证明(3) 其中 10:34 21 其中 则有 于是 =0所以 back 子空间的正交 若U,W都是欧氏空间V的子空间，对于任意的 都有(x x x x,y y y y)=0, 则U与W正交，记作UW 如果一个向量x与空间W中的任意向量都正交，则称x与W正交。 正交空间的交集为0 WUyx, 正交空间的交集为0 正交空间的和为直和 n维欧氏空间V的每一个子空间都存在唯一的正交补 齐次方程组的解空间为系数空间的正交补齐次方程组的解空间为系数空间的正交补齐次方程组的解空间为系数空间的正交补齐次方程组的解空间为系数空间的正交补 22
